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Gを群として写像Φ:G→Gをx∈Gを使って Φ(a)=axと定義するときΦは全単射となるか。 ...

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ID非公開さん

2016/6/312:30:21

Gを群として写像Φ:G→Gをx∈Gを使って
Φ(a)=axと定義するときΦは全単射となるか。
この問題の解き方を教えて下さい。

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カテゴリマスター

h7n********さん

2016/6/312:43:07

x ∈ G より 逆元 x⁻¹ ∈ G であるため

Φ(a) = ax = b となる b に対して

両辺右から x⁻¹ をかければ

a = bx⁻¹ ∈ G が存在することになり

Φ は全射であるとわかります♪

さらに Φ(a) = Φ(a') について

ax = a'x の両辺右から x⁻¹ をかければ

a = a' となるので Φ は単射です☆

以上より Φ は全単射ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬

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質問した人からのコメント

2016/6/3 12:47:37

明快な回答ありがとうございました。
急いでいたので助かりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kae********さん

編集あり2016/6/312:45:03

なりますね

証明
全射について
∀b ∈ G を固定する

G は群だから x の逆元 x^-1 が G に存在する

a = bx^-1 ∈ G とおく
Φ(a) = (bx^-1)x = b(xx^-1) = b

よって、任意の b ∈ G に対して a ∈ G が存在して、Φ(a) = b
よって Φ は全射

単射について
a ∈ G に対して Φ(a) = Φ(a') と仮定する
このとき ax = a'x
右から x^-1 をかけて
a = a'
よって Φ は単射

よって Φ は全単射

(別解)
x ∈ G で G は群だから、x の逆元 x^-1 が G に存在する

Φ' : G → G, Φ'(a) = ax^-1 と定義します

a ∈ G に対して
(Φ・Φ')(a) = Φ(Φ'(a)) = (ax^-1)x = a((x^-1)x) = ae = a
(Φ'・Φ)(a) = Φ'(Φ(a)) = (ax)(x^-1) = a(xx^-1) = ae = a

よって
Φ・Φ' : G → G と Φ'・Φ : G → G は恒等写像となる

よって Φ' は Φ の逆写像となるから、
Φ : G → G は全単射

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