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p、qが有理数のとき、p+q{2^(1/3)}=0ならばp=q=0であることを示せ。という問題...

mat********さん

2016/6/822:09:21

p、qが有理数のとき、p+q{2^(1/3)}=0ならばp=q=0であることを示せ。という問題です。解答がお分かりになる方は教えてください。よろしくお願いいたします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2016/6/822:51:28

2^(1/3)は無理数となります。
これは、多項式f(x)=x^{3}-2が有理数上
既約多項式であることと同値になります。
従って、2^(1/3)は無理数であることを
示すためには、f(x)=x^{3}-2が有理数上
既約多項式であることを示せばいいです。
背理法で示す。
f(x)=x^{3}-2が整数上
可約ならば、f(x)=x^{3}-2が有理数上
可約なので、
f(x)=x^{3}-2が整数上可約だと仮定して
矛盾を導き出します。
f(x)=x^{3}-2が整数上可約なので、
f(x)=(x+a)(x^{2}+bx+c)
となる整数a, b, cが存在する。
ac=2なので、
f(x)にx=1, -1, 2, -2を代入して、0になることを言えば良い。
f(1)=-1
f(-1)=-3
f(2)=6
f(-2)=-10
なので、
f(x)は1, -1, 2, -2で0にならない。
従って、f(x)は整数上既約。
従って、f(x)は有理数上既約となる。
つまり、2^(1/3)は無理数となる。
p、qが有理数のとき、p+q・2^(1/3)=0
が成り立つ時、
q=0でないと仮定すると、2^(1/3}=-p/q
となり、2^(1/3}は無理数、-p/qは有理数
となり矛盾する。
従って、q=0
ゆえに、p=0となり、p=q=0となる。

質問した人からのコメント

2016/6/9 20:46:20

解答ありがとうございます

ベストアンサー以外の回答

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nis********さん

2016/6/904:01:48

p+q{2^(1/3)}=0よりp=-q×2^(1/3)
∴p^3=-2q^3より(P/q)^3=-2
P/q=-a/bとおく(a,b自然数,b≠1,ab互いに素)
(A/b)^3=2よりa^3=2b^3
∴Aは偶数。a=2kとおくと4k^3=b^3よりbは偶数。
∴ab互いに素でないから仮定に反する。

出題ミスでもないし、表記もごく普通の教科書にある。また証明してない性質も使ってないし、余計なことは一才やってない。

P/q=-a/bとおく(a,b自然数,b≠1,ab互いに素)
がポイント。
有理数/有理数だから整数/整数には違いない。符号は邪魔だから外に出す。後はいつもと同じパターンで矛盾を導く。

fuk********さん

2016/6/823:06:58

教科書の例題によくある「p、qが有理数のとき、p+q√2=0ならばp=q=0であることを示せ」の類題です √2は無理数つまり有理数の比(分数)では表せないことを背理法で示す問題ですね
ところが三乗根2???こんなの見たことない???で混乱しますね
たぶんさっぱりわからない理由は2^(1/3)って何だろう???ですね
これは無理数なのか???
したがって「2^(1/3)は無理数であることを使ってよい」と但し書きがないとインチキ問題です
証明は他の方の力作を見てください

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wan********さん

2016/6/822:53:09

p+q{2^(1/3)}=0
q≠0と仮定すると
-p/q=2^(1/3)
左辺は有理数、右辺は無理数なので矛盾
これは仮定のq≠0が誤りなので矛盾が生じた
よってq=0
q=0を与式に代入してp=0が得られる

kojiさん

2016/6/822:53:05

2^(1/3)=rとしておきます。(r^3=2)
q≠0 と仮定すると
p+qr=0
r=-p/q
ここでp,qは有理数なので右辺は有理数だが、左辺は無理数である。
これは矛盾している。
よって仮定は偽なのでq=0であり、このとき
p+qr=0
p=0
∴ p,qが有理数であるとき、p+qr=0ならばp=q=0である。

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