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金星の明るさは、主に以下の3つの要素で決まるとのことです。

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ID非公開さん

2016/6/1416:13:15

金星の明るさは、主に以下の3つの要素で決まるとのことです。

(1) 太陽から金星までの距離
(2) 金星から地球までの距離
(3) 輝いて見える部分の形(満月形>半月形>三日月形)

これに基づいて、金星が一番明るく見える時の位置を計算するとどうなるでしょうか?
なお、位置は太陽からの離角で表してください。(太陽-地球-金星の成す角)

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elecomphotoさん

2016/6/1621:23:18

太陽(S)・金星(V)・地球(E)の三角形を考えます
r:金星(V)-太陽(S)の距離
R:地球(E)-太陽(S)の距離
Δ:地球(E)-金星(V)の距離
i:∠SVE
とすると
地球から見た金星の明るさ(L)は、金星のアルベド(反射能)と地球からみた金星の光っている部分(位相)の大きさ(c)に比例します。また 距離 r^2 と Δ^2 に反比例します。
L=c(1+cosi)/(r^2・Δ^2) ---①

△SVEで
cosi=(r^2+Δ^2-R^2)/2rΔ ---②
より
L=c(1+(r^2+Δ^2-R^2)/2rΔ)/(r^2・Δ^2)

円軌道なら①が最大のときは,r,cが一定なので
1+cosi/Δ^2
が最大になる必要があり ②を代入して

1+cosi/Δ^2=(1/2rΔ)+(1/Δ^2)+(r^2-R^2)/2rΔ^2

ここで
1+cosi/Δ^2=Y
1/Δ=X
1/2r=a
1=b
(r^2-R^2)/2r=c
とおけば
Y=aX+bX^2+cX^3
となり
Xで微分すれば
Y'=a+2bX+3CX^2

ここで
Y'=0 となるXは 解の公式で
X=(-b±√b^2-3ac)/3c
よって
Δ=(-b±√b^2-3ac)/a
=-2r±√r^2+3R^2

仮に r=0.723、R=1 を入れると
Δ=0.431
cosi=((0.723)^2+(0.431)^2-1)/(2×0.723×0.431)
より
i=117.9
∠SEV=39.7°

となります。
science_makki_03さんと同じ答えになりました。(0.1°は誤差範囲です)

  • elecomphotoさん

    2016/06/1622:47:48

    なんだか 別の回答者から変なリクエストを受けましたが・・・

    Δがやrが変化すれば①式へ入れる値が変わるだけです。もちろん最大光輝にはなりません。そのまえに 位相の値を計算しておかなければなりません。
    位相は みかけの惑星面積の (1+cosi)/2 になると思います。

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質問した人からのコメント

2016/6/17 17:40:18

お二人ともありがとうございました。

science_makki_03さんも、私などのために時間を割いて、大変難しい計算をしていただいたようで深く感謝いたします。しかし、ちょっと最後の方がついていけませんでした。

elecomphotoさんの計算は、私にも理解できました。やはり変数の取り方で難易度が大きく変わるのですね。

お二人とも本当にありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

編集あり2016/6/1621:20:31

●地~太…R=1.50・10^11(m)…
●金~太…r=1.08・10^11(m)…
●地の公転周期…3.65・10^2(日)…
●金の公転周期…2.25・10^2(日)…

太~地の直線を始線として地は固定し金がθだけ動くと仮定…

★つまり金がθ動いた位置にあるとき始線から金星までの距離→rsinθ…

★太~金までの始線方向の距離→rcosθ…

★※↑コレから地球から見た金星の離角φ→

tanφ=rsinθ/(R-rcosθ)…

地球→A,金星→B,太陽→O…

※↑三角形をつくると…
∠OAB=φ,∠AOB=θ…

地から見た金の光っている部分→θ+φ…

▲OABのBに円を書く…

Bを通りOBに垂直な線とBを通りABに垂直な線で挟まれる部分が光って見える部分です…

※↑コレの部分の角度→θ+φ…
※↑コレの部分を平面に投影した形の面積は半円→1-cos(θ+φ)倍…

明るさは、地と金の距離の2乗に反比例→AB^2=R^2+r^2-2Rrcosθ…

よって、明るさは…

{1-cos(θ+φ)}/(R^2+r^2-2Rrcosθ)に比例…

tanφ=rsinθ/(R-rcosθ)だから明るさはθだけの関数です…

θ=0.396=22.7゚で明るさが最大…

※↑そこまでにかかる日数は内合から…

22.7/360÷{1/225-1/365}=37.0(日)…

離角→φ=arctan{rsinθ/(R-rcosθ)}=0.691(ラジアン)=39.6゚…

▼返信より…

字数制限の為にURLに移行します…

http://chie.mobile.yahoo.co.jp/p/chie/qa/view?qid=12160545222

質問者さまへ…

数学知識=大学レベルを要しますよ…

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