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割り算において余りが一意的に定まることを証明してください

iic********さん

2016/10/1811:00:33

割り算において余りが一意的に定まることを証明してください

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oda********さん

2016/10/1812:47:50

次の定理を示せば十分である.
"任意の整数aと正の整数bに対して
a=bq+r (0≦r<b)
となる整数q,rが一意的に存在する."
(証明)
a/bを超えない最大の整数をqとする:
q≦a/b<q+1.
このとき,r=a-bqとすれば
a=bq+r
と表せて,rについて
0≦r<b
が成り立つ.実際
q≦a/b<q+1⇔bq≦a<b(q+1)
より
r=a-bq≧0,b-r=(b+1)q-a>0
である.
次に,q,rが一意的に定まることを示そう.
もし
a=bq+r=bq'+r',(0≦r<b,0≦r'<b)
と表せたとすると
b(q-q')=r'-r・・・(*)
が成立し,0≦r<b,0≦r'<bより
-b<r'-r<b
であるから
-b<b(q-q')<b⇔-1<q-q'<1
となる.q-q'は整数であるから,上記の不等式を満たすのは,q-q'=0のときに限る.従って
q=q'
であり,これを(*)に代入すると
r=r'
が導かれる.□

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