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三角形ABCのBC,CA,ABの辺の比が4:2:3で、内部の点DからAB,BC,CAに下ろした垂線の長...

T.N.さん

2016/11/520:38:35

三角形ABCのBC,CA,ABの辺の比が4:2:3で、内部の点DからAB,BC,CAに下ろした垂線の長さが4:6:12のとき、ABCの面積を求めてください。

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shi********さん

2016/11/1214:55:31

AB,BC,CAに下した垂線の長さが

4:6:12ではなく、

4,6,12 として解きますな。



BC,CA,ABの辺の比が4:2:3なので

kを正の実数として

BC = 4k

CA = 2k

AB = 3k

とおく。


ここでOを原点とするxy座標平面上に

各辺の長さを保てるよう

点A(0,(3k√15)/8)、点B(-21k/8,0)、点C(11k/8,0)とおく。

内部の点DからBCにおろした長さが6なので

点D(d,6)とおく。


直線ABの方程式は

y = {(√15)/7}x + {(3k√15)/8}

⇔ 8(√15)x - 56y + 21k√15 = 0

直線ABと点Dとの距離が4になるので

点と直線の距離より

|8(√15)d - 336 + 21k√15|/64 = 4

⇔ |8(√15)d - 336 + 21k√15| = 2^8 .....①


直線BCの方程式は

y = {(-3√15)/11}x + {(3k√15)/8}

⇔ 24(√15)x + 88y - 33k√15 = 0

直線ABと点Dとの距離が12になるので

点と直線の距離より

|24(√15)d + 528 - 33k√15|/(2^7) = 12

⇔ |24(√15)d + 528 - 33k√15| = 3・(2^9) ...(☆)

⇔ |8(√15)d + 176 - 11k√15| = 2^9 .....➁


①➁より

2|8(√15)d - 336 + 21k√15| = |8(√15)d + 176 - 11k√15|

となるので

(i) 8(√15)d = - 53k√15 + 848

または

(ii) 24(√15)d = - 31k√15 + 496

となる。


(i)のとき①に代入して

|- 53k√15 + 848 - 336 + 21k√15| = 2^8

⇔ |- 32k√15 + 512| = 256

⇔ k√15 - 16 = ± 8

⇔ k√15 = 24, 8

⇔ k = 24/√15, 8/√15

∴ (k,d) = (24/√15, - 53/√15)、(8/√15, 53/√15)

(k,d) = (24/√15, - 53/√15)のとき

点Bのx座標は - 63/√15 である。(- 63/√15 < - 53/√15)

直線AB:y = {(√15)/7}x + 9 の

x = - 53/√15 におけるy座標は

y = - (53/7) + 9 = 10/7

10/7 < 6 より 点Dは△ABCの内部にないので不適。

同様に(k,d) = (8/√15, 53/√15) のときも不適。


(ii)のとき

24(√15)d = - 31k√15 + 496 を

(☆)( |24(√15)d + 528 - 33k√15| = 3・(2^9) ) に代入して

| - 31k√15 + 496 + 528 - 33k√15| = 3・(2^9)

⇔ | - 64k√15 + 1024| = 1536

⇔ k√15 - 16 = ±24

⇔ k√15 = 40, - 8

∴ k = 40/√15, - 8/√15

k > 0 より k = - 8/√15 は不適。

(k,d) = (40/√15, - 31/√15)

このとき点Bの座標は - 105/√15 である。(- 105/√15 < - 31/√15)

直線AB:y = {(√15)/7}x + 15 の

x = - 31/√15 におけるy座標は

y = (-31/7) + 15 = 74/7

74/7 > 6 より点Dは△ABCの内部にあるので適する。


∴(k,d) = (40/√15, - 31/√15)であり、

このとき△ABCの面積は

△ABC

= (1/2)・(40/√15)・(4・6 + 2・12 + 3・4)

= (20/√15)・60

= 80√15


以上より △ABCの面積は 80√15 .....(答)




完答以外ありえない。

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