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空間内の点をO(0、0、0)A(0、0、1)B(3、0、0)C(0、2、0)とす...

yat********さん

2016/11/2020:14:54

空間内の点をO(0、0、0)A(0、0、1)B(3、0、0)C(0、2、0)とする。点Oから平面ABCに垂線を下ろしたときの交点をHとする。

AHベクトル=SABベクトル+TACベクトルのS、Tの値を求めよ。
の解説をお願いします!

平面ABC,SABベクトル+TACベクトル,垂線,AHベクトル,交点,ST,ABCD

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shi********さん

2016/11/2713:56:32

見ていきますな。


平面ABCの方程式を

ax + by + cz = d とおく。

(ただし (a,b,c,d)≠(0,0,0,0) )

3点A,B,Cを通ることから


c = d

3a = d ⇔ a = d/3

2b = d ⇔ b = d/2


ゆえに (d/3)x + (d/2)y + dz = d から

(1/3)x + (1/2)y + z = 1 となり、

平面ABC:2x + 3y + 6z = 6 である。


平面ABCの法線ベクトル

(平面ABCに垂直なベクトル)の1つは

(2,3,6) (←平面ABCの各係数)なので

点Oを通り、平面ABCに垂直な直線の方程式は

x/2 = y/3 = z/6

で表される。

x/2 = y/3 = z/6 = t とおくと、

x = 2t, y = 3t , z = 6t となり、

(点Hは直線OA上の点かつ平面ABC上の点なので)

平面ABC:2x + 3y + 6z = 6 に代入して

4t + 9t + 36t = 6

∴ t = 6/49

ゆえに点Hの座標は

点H(12/49, 18/49, 36/49) である。


↑AH = ↑OH - ↑OA = (12/49, 18/49, -13/49)

↑AB = ↑OB - ↑OA = (3,0,-1)

↑AC = ↑OC - ↑OA = (0,2,-1)

より

↑AH = s↑AB + t↑AC のとき

(12/49, 18/49, -13/49) = (3s, 2t, -s-t)


3s = 12/49

2t = 18/49

-s-t = -13/49


この3式を満たすs,tは

s = 4/49, t = 9/49

[1]...4

[2]...4

[3]...9

[4]...9

[5]...4

[6]...9



となりますぞ。いかがですかな。

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