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∫dx/x(x^2+1)の積分の仕方が分かりません。

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ID非公開さん

2016/11/2822:54:12

∫dx/x(x^2+1)の積分の仕方が分かりません。

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guy********さん

2016/11/2823:04:25

1/x(x²+1)=a/x+(bx+c)/(x²+1)

両辺に x(x²+1) を掛けて分母を払う

1=a(x²+1)+x(bx+c)

(a+b)x²+cx+a-1=0

a+b=c=a-1=0

a=1, b=-1, c=0

∴1/x(x²+1)=1/x-x/(x²+1)


与式=∫{1/x-x/(x²+1)}dx

=∫{1/x-(1/2)(x²+1)´/(x²+1)}dx

=log|x|-(1/2)log(x²+1)+C

  • guy********さん

    2016/11/2823:07:58

    【別解】x²+1=tで置換積分。2xdx=dt

    ∫dx/x(x²+1)

    =(1/2)∫2xdx/x²(x²+1)

    =(1/2)∫dt/(t-1)t

    =(1/2)∫{1/(t-1)-1/t}dt

    =(1/2)(log|t-1|-log|t|)+C

    =(1/2){logx²-log(x²+1)}+C

    =log|x|-(1/2)log(x²+1)+C



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