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1つ目の問題ですが、x=6 y=7 と解を出せてそのあといつも通り13(x-6)=11(y-7)とい...

tri********さん

2016/12/1920:08:56

1つ目の問題ですが、x=6 y=7 と解を出せてそのあといつも通り13(x-6)=11(y-7)というふうにして一般解を求めたのですが、

x=11k+6
y=13k+7
とでたのが回答と合いません。
解答では、x=11k-5 y=13k-6 となってます。

なにかだめなところがあるんでしょうか?

11k-5 y,x-6,y-7,6 y,x-y,一般解,自然数

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sma********さん

2016/12/2110:00:57

> x=11k+6
> y=13k+7
> とでたのが回答と合いません。
> 解答では、x=11k-5 y=13k-6 となってます。

不定方程式の整数解の「表し方」は無数にあります. この場合,
・x=11k+6, y=13k+7,
・x=11k-5, y=13k-6
のどちらも 13x-11y=1 の整数解を表していますので, どちらでも正解になります.

言い換えると,
・x=11k+6, y=13k+7
だと思って, それ以降の問題 (ア, イ, …) を解いてもちゃんと答えは求まるはずですよ.


【解答】
13x-11y=1 の整数解は
(x,y) = (11k+6, y=13k+7) (k は整数)
と表される.

特に x, y が自然数になるのは
11k+6≧0, 13k+7≧0
のときなので, k≧0. よって, 自然数解は
(x,y) = (11k+6, y=13k+7) (k は 0 以上の整数)
と表される.

(1)
x の値が最も小さいのは k=0 のときなので, (x,y) = (6,7)

(2)
x+y≦200 に (x,y) = (11k+6, y=13k+7) を代入すると,
(11k+6) + (13k+7) ≦ 200.
∴ 24k ≦ 187.
∴ k ≦ 187/24 = 7.79 ….

よって, x+y≦200 となるのは k=0,1,2, …, 7 のときであり, 各 k に対して (x,y) の値は異なるので, その総数は 8 個.

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