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中学の教科書では、「0で割る計算は考えない」となっていますが、実のところどう...

eis********さん

2008/5/3106:02:18

中学の教科書では、「0で割る計算は考えない」となっていますが、実のところどうなのでしょう。数学的にはできるのでしょうか。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mas********さん

2008/5/3106:06:35

答えになっていないのですが。。。

実際にないもの(0)を割ることはできるけど、実際にないもの(0)で割ることはできないんですよね。

不思議といえば、不思議なのですが、なんとなくなっとくはできます。。。

答えになっていないので、どなたか詳しいかた教えてくださいw

質問した人からのコメント

2008/6/1 01:46:30

感謝 弱気な回答気に入りました。

ベストアンサー以外の回答

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koi********さん

編集あり2008/5/3114:24:37

私が読んで納得したサイト
http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655

上のリンク先の内容をまとめると、
「現代の数学では『aで割る』=『1/aをかける』という定義(決めごと)になっており、これに従うと『0で割る』は『1/0をかける』となるが、1/0という数は定義できない(0にかけて1になる数が存在しない)ので、結局『0で割る』という計算そのものが数学上定義されていない」
という感じです。

最後の「『0で割る』という計算そのものが数学上定義されていない」について少し説明します。
「0」も「割る」も数学上ちゃんと意味を持ちますが、「0で割る」は数学上意味を持たない、ということです。
つまり「0で割る」は、数学用語を用いた「単なる言葉」であって、これ自体は数学上の用語ではないわけです。
極端な例でいうと、「+-×÷√ を解け」と言われても、これは数学の問題になってないので解きようがないですよね。「3÷0 の答えはない」というのもこれと同じ理屈です。
(ちなみに「3÷0は解けない割り算」ではなく「3÷0は割り算ではない」が正しいです)

訂正
上で『aで割る』=『1/aをかける』と書きましたが、正しくは『aで割る』=『aの逆数をかける』でした。
逆数とは、かけ合わせて1となる2つの数の、一方から他方を指したものです。
例えば 3×1/3 = 1 なので、3の逆数は1/3です。0の逆数はありません。
ですからそのあとの「1/0という数は…」も、正しくは「0の逆数は…」でした。(全部上記のサイトからの受け売りですが--;)

lan********さん

2008/5/3109:49:39

なぜ0で割ってはいけないのか? リンゴの分配から体の公理まで
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1324200

いろいろな視点から説明してあり、非常に分かりやすいと思います。

ニコ動も侮れない・・

cli********さん

2008/5/3107:08:26

【前置き】
数学は公理や定義といった決めごとからスタートします。
(このような数学の本質について中学校でも高校でも教えません)
人間の勝手な決めごとから始まるのだから、そういう意味では数学は自由な学問です。
ただし、最初に決めた大きな『決めごと』に矛盾した結果を導いては成りません。
そういう意味からすると不自由な学問と感じるかもしれません。
数学は科学ではなく、出発点を自由に決められる論理の体系です。

【四則演算】
加減乗除(足し算、引き算、掛け算、割り算)は規則です。
社会では規則はしばしば破られますが、数学において一度決めた規則(定義)は破られません。
ごく簡単に言うと、引き算は足し算の逆算であり、割り算は掛け算の逆算です。
(逆算とは逆の操作)
簡単な掛け算ですが
■ 3×7=21 だから 21÷7=3
それでは、上式で、7を0に、3をaに置き換えてみると
■ a×0=21 だから 21÷0=a
さて、a×0はなんでしょうか?”普通は”a×0=0という規則です。
つまり、a×0=21という式は規則に合ってないことになります。
だからこそ、21÷0=a の答えは無い。

【補足】
上の二番目の式で最初から、21ではなくて、a×0=0からaを導くと
□ a×0=0 だから 0÷0=a
aはどんな実数でも成り立つので、0÷0は何でも良い、つまり一意に(唯一には)決まらない。

【蛇足】
前置きに書いたように、決めごと(規則)からスタートするのだから、決めごとを変えてやれば、「21÷0=a」のaという数の存在も認められることになります。
誤解をしてもらいたくないのは、いきなり 1÷0=∞ (0以外の正数÷0=∞) という式を平気で書く人がいますが、広く使われている数学においては、∞(無限大)は数ではないので間違いです。(これも決めごと!)
∞(無限大)を数とした新しい体系を創る事も可能ですが、全ての決めごとに論理的な矛盾が無いように構築する必要があります。
※そして、とても重要なことは、そのような数学の体系(システム)が科学(自然科学、人文科学、その他科学全般)にとって役立つか否かです。

mar********さん

編集あり2008/5/3108:17:49

割るというのは逆数をかけることと同じなので、もし逆数が存在すればわり算が可能です。
よって「0で割れない」というのは、「0の逆数が存在しないこと」と同じです。

逆数とは、もとの数にかけると1になる数のことですが、
0には何をかけても0なので1にはなり得ない。

よって0には逆数がないので、それをかけること、つまり0で割るということはきない、ということです。

0÷0が何でもいいというのは厳密な議論に基づいているとは思えません。
0=a×0から目的の式を出すために0の逆数をかけているからです。

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