ここから本文です

mを正の整数とする。√mが整数でないならば、√mは無理数であることを示せ。

ana********さん

2017/1/3003:08:02

mを正の整数とする。√mが整数でないならば、√mは無理数であることを示せ。

(解答)
√mが整数でないのだから、整数以外の実数は数直線上で考えると整数aと小数bの和で表すことができるので,
√m = a + bとおくこともできる。
ここで、√mが整数を除いた有理数であると仮定したとき、
矛盾が起これば実数の範囲で無理数であることがわかるのでこれを利用する。

整数を除いた有理数は、既約分数式で表すことができ、
√mを整数を除いた有理数であると仮定すると、
√m = p/nとおける。また、pとnは互いに素な整数であり、p≠0,n≠0,n≠1である。
p/n = √m (1)
両辺を2乗して、
p^2/n^2 = m (2)
pとnは互いに素なのだから、p^2はn^2を約数としてもつことができないので、
割り切ることができないから、p^2/n^2は正の整数ではない。
したがって、(2)は矛盾するので、整数を除いた有理数でないことが示された。
したがって、√mは無理数であることが示された。(3)

√3が無理数であることを示せ。
(解答)
√3が整数であると仮定すると、
√3 = n ただし、nは整数。
両辺を2乗して、
3 = n^2 (4),
3を2つの整数の積で表す組合わせは、
3 * 1 = 3、 -3 * -1 = 3、しか存在しない、つまり3は素数なので、
3はある整数の2乗であわらすことができない。
これは、(4)に矛盾するので、
√3は整数ではないと示された。(5)

ここで、mを正の整数とする√mが整数でないならば、√mは無理数が(3)より、
示されたので、これを利用して、
3は正の整数であり、正の整数の集合の元かつ、
√3は整数ではないことが(5)より示されたので、
mが3であるときについても、同様に成り立つので、
√3は無理数であることが示された。

この方法で、無理数である整数の平方根はほぼすべて、その無理性を証明できると思うのですが、
あってますかね?
どこか証明に不備があるのかもしれません。
指摘ください。

閲覧数:
144
回答数:
1
お礼:
250枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

san********さん

2017/1/3003:44:40

論理展開の大筋は問題ないと思われます。ただ,証明の表現の中に冗長な部分,逆に説明不足と思われる部分があるので,解答の添削のつもりで,気づいたところをいくつか指摘しておきます。

まず,前半の一般論の証明ですが,

『√mが整数でないのだから、整数以外の実数は数直線上で考えると整数aと小数bの和で表すことができるので,
√m = a + bとおくこともできる。
ここで、√mが整数を除いた有理数であると仮定したとき、
矛盾が起これば実数の範囲で無理数であることがわかるのでこれを利用する。』
→この部分は不要です。以下の証明で,整数部分・小数部分に関する事実は何も用いていません。

『 整数を除いた有理数は、既約分数式で表すことができ、』
→”既約分数式”は全く別の概念として存在します。ここは”既約分数”が正確。
(数学用語は,1文字変えたら全く違う意味になることが多く,気を遣うところです)

『√mを整数を除いた有理数であると仮定すると、
√m = p/nとおける。また、pとnは互いに素な整数であり、p≠0,n≠0,n≠1である。』
→ここは,pもnも”自然数と言い切りましょう。√m>0ですから。自然数と言い切った時点で「≠0」は自然数の定義に含まれるので不要になります。ただ,n≠1のことわりは必須で,省略しないように。

『p/n = √m (1)
両辺を2乗して、
p^2/n^2 = m (2)』

→ここは問題ないです。この証明のメインの部分とも言えますね。

『 pとnは互いに素なのだから、p^2はn^2を約数としてもつことができないので、
割り切ることができないから、p^2/n^2は正の整数ではない。』
→ここは,言っていることは全く正しいのですが,説明なしに用いて大丈夫でしょうか…?青チャートの例題でも「自然数a,bが互いに素ならば,a^2とb^2も互いに素であることを示せ。」という問題が扱われ,これ自体の証明も結構なボリュームです。質問者様が,もしこの事実を無意識に,あるいは感覚的に「まあこれは成り立つだろう~」ぐらいで使われたとしたら,別の場面でこういうノリが落とし穴にはまる危険性があり,要注意です。

『したがって、(2)は矛盾するので、整数を除いた有理数でないことが示された。』
→ここは,本筋と少しずれますが,”矛盾”という言葉遣いの誤用が見られます。
「○○は矛盾する」という風に,ある条件に対して”これは(orが)矛盾する”という言い回しではなく,両立することのない2つの命題or条件が真であることが示された,という現象を指して”矛盾”というのです。
なので,正しくは,
・p^2/n^2は正の整数とはなり得ない。
・(しかし,(2)でp^2/n^2がmという”整数”に等しいことが示されているから,
p^2/n^2が整数であり整数でないというおかしなことに)
・(つまり,(2)とひっかかってしまったので,それを指して)「これは(2)に反し」という言い回しになる
・(そんな2つの条件が真・真で両立してしまった事態を)「これは”矛盾”である」と表現するのです。
*背理法の扱いはなかなか難しいので,この辺りは聞き流して頂いても良いです。

『したがって、√mは無理数であることが示された。(3)』
→ここは,まあそうですよね。

後半部分の証明は,この前半の事実を使っているのですが,結局2乗して素因数分解できたとしたら…という話になると,結局同じ(ような)証明を√3という具体例で繰り返しているように見えます。上の定理を用いるなら,次のようにします。
(証明)1^2=1,2^2=4 より 1^2<3<2^2
よって,1<√3<2で,√3は1と2の間の数であるが,1と2の間に整数は存在しないので,√3は整数ではない。
よって,先に示した事実より√3は有理数でない。(証明終)

*実際,教科書で背理法の練習問題で定番の
「√2は無理数であることを証明せよ」
の解答は,上の一般論の証明を具体例でやっているような証明になっていますね。

『この方法で、無理数である整数の平方根はほぼすべて、その無理性を証明できると思うのですが、
あってますかね?』
→これは全くその通りです。"√3が無理数"の,私が述べた証明と同様にすると,
√mは,mが平方数でない場合は,ある隣り合う2つの自然数nとn+1の間にあることが言え,√m自身が整数にはなり得ないので,有理数ではない,という論理展開になります。この証明の作文は,ぜひご自身でトライしてみて下さい。

質問した人からのコメント

2017/2/3 04:36:00

すばらしいです...
予備校の添削ぐらいの質の回答くださったことを感謝します。
また、よろしくお願いします!

「和 積 互いに素」の検索結果

検索結果をもっと見る

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

別のキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる