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面白い問題だと思います。 x^2 - 20 x y + 5 y^2 - 40 x - 35 y - 109 = 0 に...

bqb********さん

2017/2/2217:46:42

面白い問題だと思います。

x^2 - 20 x y + 5 y^2 - 40 x - 35 y - 109 = 0
について、次の 3 つが同値であることを証明して下さい。

.
整数解が存在する

⇔ 「x^2 - 40 x - 109 ≦ 0」かつ「5 y^2 - 35y - 109 ≦ 0」
......かつ「x ≦ 0 または、y ≦ 0」を満たす整数解を持つ

⇔ 整数解が無数に存在する

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ベストアンサーに選ばれた回答

nf1********さん

2017/2/2421:42:23

解けたわけではないのですが面白い問題だということはわかりました。
途中経過ですが一応書きます。2017にも気が付いてませんでした。

xおよびyで整理してそれぞれ
x^2-(20y+40)x+5y^2-35y-109=0
5y^2-(20x+35)y+x^2-40x-109=0
f(y)=5y^2-35y-109,g(x)=x^2-40x-109とおく。

(x,y)=(a,b)が整数解だとする。
aはx^2-(20b+40)x+f(b)=0の解である。もう1つの解をa'と
置くとa'=20b+40-aでこれは整数だから(a',b)も整数解
bは5y^2-(20a+35)y+g(a)=0の解である。もう1つの解をb'と
置くとb'=4a+7-bでこれは整数だから(a,b')も整数解

(a',b)=S(a,b),(a,b')=T(a,b)と書くことにすると
(a1,b1)=STSTST・・・・・ST(a,b)や
(a2,b2)=TSTSTS・・・・・TS(a,b)も整数解である。

ここまでしかできてないのですが(a,b)=(-3,-4)から初めて
T,ST,TST,STST,・・・・とやっていったら
(-3,-1),(23,-1),(23,100),(2017,100),(2017,7975),(157523,7975)
(157523,622124),(12284997,622124)等が得られました。
S,TS,STS,TSTS,・・・・とやっていったら
(-37,-4),(-37,-137),(-2663,-137),(-2663,-10508),(-207457,-10508)
(-207457,-819313),(-16178763,-819313)等が得られました。

この方程式が無数の整数解を持つことは証明できそうです。
上のようにして得られたのがすべての整数解であるかどうかは
見当がつきません。

このようなことができるのはどのような方程式か、とか
このような形ですべての整数解が得られるのかとか
いろいろありそうです。確かに面白そうです。

  • 質問者

    bqb********さん

    2017/2/2609:49:50

    面白さを理解して頂いてうれしいです。
    本問と、もう一つの「負の整数解がない」問題で、

    「このようなことができるのはどのような方程式か」
    「このような形ですべての整数解が得られるのか」
    の両方の疑問へのお答えになっていると思います。
    (本問は、整数解の一つ (ヒント) を与えられていなくても、すべての整数解を求めることができる、ということを確認する問題のつもりです)

    おっしゃるように、まず、
    「無数の整数解を持つこと」を証明すれば、
    重要なことが分かると思います。

    与えられた方程式を f(x, y) = 0 とすれば、
    f(t, t) の正負 (特に負である範囲) がポイントと思います。

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質問した人からのコメント

2017/3/1 08:53:06

ありがとうございました。

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