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弾性力による位置エネルギーについての質問です

han********さん

2017/2/2723:35:48

弾性力による位置エネルギーについての質問です

弾性力による位置エネルギーが1/2KX^2になるのはなぜでしょうか?
教科書などに出てくるF-Xグラフはわかるのですが、
W=FX(仕事),F=KX(弾性力)のふたつの式を使って代入すると、
W=KX^2
になってしまいませんか?

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fey********さん

2017/2/2821:04:50

X=1 だと
F=K・1
W=K・1・1=K

X=1から2 へ伸ばすと
F=K・2
W=K・2・(2-1)=2K

X=2から3 へ伸ばすと
F=K・3
W=K・3・(3-2)=3K

・・・・

Xを(X-1)からX へ伸ばすと
F=K・X
W=K・X・(X-X+1)=KX

全部足すと
(KX+K)・(X/2)=K(X+1)X/2

Xが1に対して十分大きくなると
K(X+1)X/2≒(1/2)KX^2

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ehi********さん

編集あり2017/2/2800:02:06

W=Fxが成り立つのは、Fがxによらず一定のときだけです。弾性力F=kxでは、Fはxに依存するため、そのまま代入はできません。

ではどうするかと言えば、Fがxによらず変化しないと見なせるほどめちゃくちゃ小さいxの変化量Δxを考えます。この範囲では微小仕事ΔW=FΔxが成立します。このようなΔxとFの掛け算のペアを、全て足し合わせれば
W=ΣΔW=ΣFΔx
となり、これに弾性力を代入すれば求めたい仕事は求まります。

数学的にちゃんと書けば、Fがxに依存する場合も含めて、一般に仕事は
W=∫Fdx
です。

つまり、弾性力のする仕事はkxをxで積分しましょう。

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ken********さん

2017/2/2723:54:58

高校物理における仕事W の公式:W=FX [J] は、
物体に働く力の大きさが F [N] で一定の場合の式です。

ばねの弾性力:F=kx は、
移動とともにばねの伸びx が0から次第に大きくなり、
力の大きさも移動とともに次第に大きくなりますから、
単に、力の大きさ×移動距離 で仕事を求めることはできません。

それじゃあ、力の大きさが変化するときの仕事の求め方は?

それは、F-Xグラフを描いて、その下の面積から求めることができます。

ばねの弾性力の場合、F=kx で、原点を通る傾きがk の直線ですから、
このばねを0からX まで伸ばすのに要する仕事W は、
直線の下の三角形の面積に等しくなります。
三角形の面積の公式より、
W=X・kX/2
=(1/2)kX^2 [J]

となります。

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