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数学の問題について。曲線y=-(x-2)^2+4とx軸に囲まれた部分の面積はなにか。

lilo_and_stitch0904さん

2017/3/821:13:37

数学の問題について。曲線y=-(x-2)^2+4とx軸に囲まれた部分の面積はなにか。

この問題について解説をふまえご説明よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

yaryuu116さん

2017/3/821:31:20

求める式を一旦展開します。するとy=-x^2+4x
因数分解するとy=-x(x-4)です。つまりこの関数のグラフとx軸の交点は0と4です。
またx^2の係数が負である事から上に凸なのでグラフは添付した画像のようになります。また求める面積は斜線部分です。
求める面積をsとするとs=∫-x(x-4)dx(0→4)です。(積分区間は()で書きました)
ここである公式を使います。∫(x-a)(x-b)dx(a→b)=-1/6(b-a)^3という公式があります。これを使って求めるとs=1/6(4-0)^3=32/3です。
この公式を使わずに展開して地道に求めることもできますが、放物線とx軸で囲まれた面積、放物線と直線で囲まれた面積などではこの公式が大変役に立つので覚えておくといいと思いますー

この公式の証明を軽く紹介します。積分区間は(a→b)とします。以後省略します。
∫(x-a)(x-b)dx=∫(x-a){(x-a)+a-b)}=∫(x-a)^2+(a-b)(x-a)dx
=[(x-a)^3/3-(b-a)(x-a)^2/2]=-(b-a)/6
今後数Ⅲを勉強される予定があるなら、数Ⅲで部分積分法という物を学ぶのでそれでも証明できます。

求める式を一旦展開します。するとy=-x^2+4x...

質問した人からのコメント

2017/3/8 21:48:44

詳細にわたるご説明ありがとうございました!!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cx548c65さん

2017/3/821:18:07

0= -(x -2)^2+4
x -2=±2
x=0, 4

1/6 公式 (1/6)4^3=64/6=32/3

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