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座標平面上で平行四辺形OPQRの内部に、点SとTを中心とする2つの円SとTが接してい...

finger_0ng0v1197260_6vさん

2017/3/2019:50:40

座標平面上で平行四辺形OPQRの内部に、点SとTを中心とする2つの円SとTが接している。円Sはx軸と直線ℓ及び直線mと接し、円Tは直線mと直線nに接している。

点Sを通りy軸と平行な直線と、点Tを通りx軸との平行な直線との共有点をUとする。ここで、直線ℓとx軸とのなす角度は60°、OP=6、円Sの半径は√3とする。

(1)点Pの座標
(2)線分PQの長さ
(3)点Sの座標
(4)円Tの半径をtとする。点Tの座標tを用いて表すと?
(5)直角三角形STUに三平方の定理を適用し整理すると、tに関する2次方程式、また、2つの解の一方は不適なので、t=??である。

わかる方教えてください!

x軸,座標,直線,平行四辺形OPQR,共有点,線分,二等分線

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yuukanroujinさん

2017/3/2021:57:24

(1)点Pの座標

x=OPcos60°=6*1/2=3
y=OPsin60°=6*√3/2=3√3
P(3,3√3)・・・答
(2)線分PQの長さ

Pからmに下した垂線の長さはSの直径と等しいので2√3。
mとnとのなす角度は60°だからPQsin60°=PQ√3/2=2√3
PQ=4・・・答
(3)点Sの座標

Sのy座標はSの半径と同じだから√3
線分SOはlとx軸とのなす角度の二等分線だから
√3/x=tan30°=1/√3よりx=3
S(3,√3)・・・答
(4)円Tの半径をtとする。点Tの座標tを用いて表すと?

点Qの座標は(7,3√3)だからTのy座標は3√3-t。
線分TQは∠PQRの二等分線だからt/x=tan30°=1/√3から
x=√3tをQのx座標から引いた7-√3tがTのx座標になる。
T(7-√3t,3√3-t)・・・答
(5)直角三角形STUに三平方の定理を適用し整理すると、tに関する2次方程式、また、2つの解の一方は不適なので、t=??である。

線分TUの長さ=tのx座標-sのx座標=7-√3t-3=4-√3t
線分SUの長さ=tのy座標-sのy座標=3√3-t-√3=2√3-t
線分STの長さ=両円の半径の和=√3+t
ST^2=TU^2+SU^2だから(√3+t)^2=(4-√3t)^2+(2√3-t)^2
整理して、3t^2-14√3t+25=0
解いてt=[14√3±√{(14√3)^2-4*3*25}]/6=7√3/3±2√2
t=7√3/3-2√2・・・答

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