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[数学の問題]

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ID非公開さん

2017/3/2112:07:26

[数学の問題]

楕円の1つの焦点Fを通り、
互いに直交する2つの弦AB,CDを引けば、
1/AB+1/CD は一定であることを証明せよ.

よろしくお願いします.

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ベストアンサーに選ばれた回答

willow859さん

2017/3/2121:57:25

http://mathtrain.jp/nijikyoku

楕円は、0<e<1のとき
r=l/(1+ecosθ)
と書ける。
r[1]=l/(1+ecosθ)
r[2]=l/(1+ecos(π/2+θ))=l/(1-esinθ)
r[3]=l/(1+ecos(π+θ))=l/(1-ecosθ)
r[4]=l/(1+ecos(3π/2+θ))=l/(1+esinθ)

A(r[1])=l/(1+ecosθ),B(r[3])=l/(1-ecosθ)

AB=l/(1+ecosθ)+l/(1-ecosθ)
=2l/(1-e^2(cosθ)^2)
1/AB=(1-e^2(cosθ)^2)/2l……………………①

C(r[2])=l/(1-esinθ),D(r[4])=l/(1+esinθ)
CD=l/(1-esinθ)+l/(1+esinθ)
=2l/(1-e^2(sinθ)^2)
1/CD=(1-e^2(sinθ)^2)/2l……………………②

①②より
1/AB+1/CD=
(2-e^2((cosθ)^2+(sinθ)^2)/2l
=(2-e^2)/2l
=一定

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