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数学II 不等式の証明です。 この証明を教えてください 次の不等式が成り立つこ...

chi********さん

2017/4/623:08:40

数学II
不等式の証明です。

この証明を教えてください


次の不等式が成り立つことを証明せよ。
x<1,y<1,z<1 のとき
xyz+x+y+z<xy+yz+zx+1


よろしくお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

ido********さん

2017/4/623:19:20

xy+yz+zx+1 - (xyz+x+y+z) > 0
を示せばよいから、
xy+yz+zx+1 - (xyz+x+y+z)=xy+yz+zx+1 -xyz -x -y -z
=-x(-y -z+yz+1)+yz+1 - y - z
=(1-x)(-y -z+yz+1)
=(1-x){-y(1-z)+1 -z}
=(1-x)(1-y)(1-z)
(ここでx<1,y<1,z<1だから、1-x, 1-y, 1-z はいずれも正。よって)
(1-x)(1-y)(1-z)>0

∴xyz+x+y+z<xy+yz+zx+1

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