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群の直積について質問です。 群Gの正規部分群M,NでG=M⊗Nのときにm∈Mとn∈Nは可換で...

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ID非公開さん

2017/6/2922:07:57

群の直積について質問です。
群Gの正規部分群M,NでG=M⊗Nのときにm∈Mとn∈Nは可換であることを証明する方法を教えてください。

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h7n2g3さん

2017/6/2922:21:00

m ∈ M, n ∈ N に対して

g = mnm⁻¹n⁻¹ を考えてみましょう♪

M, N が正規部分群であるため

g = m(nm⁻¹n⁻¹) ∈ m(nMn⁻¹) = mM = M,

g = (mnm⁻¹)n⁻¹ ∈ (mNm⁻¹)n⁻¹ = Nn⁻¹ = N

よって g ∈ M∩N となりますが

いま G = M⊗N であるため M∩N = {e} より

g = mnm⁻¹n⁻¹ = e

よって両辺右から nm をかければ

mn = nm が成り立つので

可換ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬

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質問した人からのコメント

2017/6/30 12:38:43

わかりやすいです!
ありがとうございました。

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