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確率の問題です。 X~N(1,4), Y~N(0,1)でありXとYは独立であるとする。 このと...

lfs********さん

2017/7/100:08:02

確率の問題です。

X~N(1,4), Y~N(0,1)でありXとYは独立であるとする。
このとき、
確率P(X^2-2X+4Y^2 >= x) = 0.01となるxを求めよ。

この問題が分かりません。解説お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

トトロさん

2017/7/100:55:58

X~N(1,4)のとき、標準化すると (X-1)/2~N(0,1) です。
2つの独立な標準正規分布を2乗したものの和は、自由度2のカイ2乗分布に従います。
したがって、
{(X-1)/2}^2+Y^2 ~ 自由度2のカイ2乗分布

さて、問題の
P(X^2-2X+4Y^2 ≧ x)
を変形していくと、
=P((X-1)^2-1+4Y^2 ≧ x)
=P((X-1)^2+4Y^2 ≧ x+1)
=P({(X-1)/2}^2+Y^2 ≧ (x+1)/4 )……(*)
と変形されます。

つまり問題の確率は、
「自由度2のカイ2乗分布に従う確率変数の値が(x+1)/4 以上となる確率」
と同じです。

ここで、カイ2乗分布表を見ると、自由度2の場合の 1%点、すなわち0.01に当たる点は 9.21 となっています。つまり
P({(X-1)/2}^2+Y^2 ≧ 9.21)=0.01
というわけです。

したがって、上の(*)の式と見比べると、
(x+1)/4=9.21
これを解いて
x=35.84
となります。

実は、上の★の部分からあとは、カイ2乗分布表を見なくても求めることができます。
何かの本を見ればわかりますが、実は「自由度2のカイ2乗分布」は、「λ=1/2の指数分布」に等しいのです。
つまりその確率密度関数は f(x)=(1/2)e^(-x/2) で与えられます。
したがって、確率変数Zが自由度2のカイ2乗分布に従うとき、
P(Z ≧ t)=∫[x=t→∞](1/2)e^(-x/2)dx=[-e^(-x/2)][x=t→∞]=e^(-t/2)
となり、これが 0.01 になるのは、t が
e^(-t/2)=0.01
を満たすときです。このことから
-t/2=log(0.01)=log(1/100)=-log100(logは自然対数)
よって、
t=2log100=4log10
です。
(x+1)/4=4log10 より、x=16log10-1=35.841361…
が正確な値です。

質問した人からのコメント

2017/7/1 12:07:02

とても分かりやすい回答ありがとうございました!助かりました!!!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

トンガリさん

2017/7/101:00:18

X'=X-1 X'〜N(0,4)
Y'=2Y Y'〜N(0,4)
P(X'^2+Y'^2≧1+a)
=∫[x^2+y^2≧1+a] 1/(8π)*exp(-(x^2+y^2)/8)dxdy
=∫[r^2≧1+a]∫[0≦θ≦2π] 1/(8π)*exp(-r^2/8)rdrdθ
=(1/4)∫[r^2≧1+a]exp(-r^2/8)dr
=(1/4)[-4exp(-r^2/8)]_[√(1+a),∞]
=exp(-(1+a)/8)

exp(-(1+a)/8)=0.01
a=8log100-1=35.841...

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