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n次正方行列A,Bに対して、rankA=rankBとなることと、ある正則行列P,QによりPAQ=Bと...

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ID非公開さん

2017/7/415:14:56

n次正方行列A,Bに対して、rankA=rankBとなることと、ある正則行列P,QによりPAQ=Bとできることは同値である。

示してください!
私全然わかんないので、お願いいたします!!!

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ベストアンサーに選ばれた回答

yaj********さん

2017/7/518:51:21

m=<n のランクの行列の標準形を
(1, 0........0)
(0,1,0.......0)
(0.0,1,0.....0)
.............
(0......01,0...)
(0..............0) とします。つまり階数だけ連続して対角に1がならぶ
この行列をU

階数を求める変形ひとつずつは正則行列それらの積の正則

rankA=rankB なら CAD=U, FBG=U となる正則行列がある

B=F^(-1)UG^(-1)=F^(-1)CABDG^(-1)

逆にPAQ=B なら CAD=U のとき

CP^(-1)BQ^(-1)D=CP^(-1)PAQQ^(-1)D=CAD=U

rankA=rankB

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