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A={(x,y);x^2+y^2<1}

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ID非公開さん

2017/7/1214:03:08

A={(x,y);x^2+y^2<1}

B={(1/n,0);n∈N}とR^2の部分集合を定める。

AとBそれぞれにおいての、
内点の集合
外点の集合
境界点の集合
集積点の集合
触点の集合
を求めよ。

よろしくお願いします。

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cli********さん

2017/7/1215:31:11

ID非公開さん

【A について】
※ A は原点 (0,0) を中心として半径 1 の円の内部ですね. 境界の円 (円周) は含まない. A は内点のみの集合です.
内点の集合 = A
外点の集合 = {(x,y);x^2+y^2>1}
境界点の集合 = {(x,y);x^2+y^2=1}
集積点の集合 = {(x,y);x^2+y^2≦1}
・集積点とは, 内点, または, 孤立点でない境界点
・A の孤立点は存在しない.
触点の集合 = {(x,y);x^2+y^2≦1}
・触点 = 内点, または, 境界点

【B について】
※ B の点 (0,1/n)∈R^2 は十分小さい ε>0 の開近傍をとって, 点 (0,1/n) 以外の B の点を含まないようにできます. したがって, 個々の点 (0,1/n) は孤立点です. 孤立点は境界点です.
また, n→∞ のとき (0,1/n)→(0,0) であり, (0,0) にいくらでも近い点 (0,1/n) が存在するから, (0,0) は B に属さないが, B の集積点です. 集積点は境界点です.
内点の集合 = 空集合
外点の集合 = R^2 - ({(1/n,0);n∈N}∪{(0,0)})
・補足 : これは {(1/n,0);n∈N}∪{(0,0)} の補集合の意味です.
境界点の集合 = {(1/n,0);n∈N}∪{(0,0)}
集積点の集合 = {(0,0)}
触点の集合 = {(1/n,0);n∈N}∪{(0,0)}

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