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∫₀∞ x²exp(-sx²)dx(sは複素数)をどう計算すれば良いか教えてください。sが実数の場...

ka1011210063132さん

2017/7/2223:51:33

∫₀∞ x²exp(-sx²)dx(sは複素数)をどう計算すれば良いか教えてください。sが実数の場合は公式を知っているんですが、複素数になるとわかりません。

できれば積分が収束するためのsの条件も教えていただけると助かります。

補足積分範囲が見にくいかもしれないので補足しますが、0から無限大です。

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schnittkejpさん

編集あり2017/7/2310:32:24

sが実数の場合 (s>0)

∫x²exp(-sx²)dx

不定積分
∫x*xexp(-sx²)dx
=∫x*{exp(-sx²)/(-2s)}'dx
=x(exp(-sx²))/(-2s)+(1/2s)∫exp(-sx²)dx

x(exp(-sx²))/(-2s)
の部分はx=0→∞で0に収束

よって
1/(2s)∫[0→∞]∫exp(-sx²)dx

[0→∞]∫exp(-sx²)dx
はガウス積分で
(√π)/(2√s)

よって
求める積分値は
(√π)/(4s√s)


これは大丈夫なんですよね。

sが複素数の場合を検討すればいいんですね。

締め切らずにお待ちください。

x²exp(-sx²)
で、s=a+bi とします
x²exp(-ax²-bix²)
=x²exp(-ax²)*exp(-bix²)
=x²exp(-ax²){cos(bx²)-isin(bx²)}

この積分は、難しそうです。

でも、結局
x=0→∞で積分するので


1/(2s)∫[0→∞]∫exp(-sx²)dx
の値をs=a+bi で考えてればいいと思います。

すなわち
∫[0→∞]exp(-ax²){cos(bx²)-isin(bx²)} dx
が計算できればいいと思いました。


∫[0→∞]exp(-ax²){cos(bx²)} dx
を検討します。

(1/2)√[1/{2(a²+b²)}*{a+√(a²+b²)}π]
になりました。



∫[0→∞]exp(-ax²){sin(bx²)} dx
は、
(√π)/2*(a²+b²)^(-1/4*)sin(1/2(arctan(b/a))
になりました。

でも、こんな難しい課題あるのですか?
それとも、この質問は、貴方の独自の疑問でしょうか?

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2017/7/2401:39:45

∫x²exp(-sx²)dx
=∫x²exp(-t^2x²)dx
tx=uと置いて
∫x²exp(-t^2x²)dx
=∫(u/t)²exp(-u²)/tdu
=1/t^3∫u²exp(-u²)du
普通に積分

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