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マルコフ連鎖についてです。 ある地域の農作物の収穫状況は次のような傾向にあ...

kousuke81792_0706さん

2017/8/1004:00:05

マルコフ連鎖についてです。

ある地域の農作物の収穫状況は次のような傾向にあるという。ある年、豊作であった年、翌年も豊作である確率は0.6で、不作であった年の翌年がまた不作である確率

は0.3とする。今年、この地域の農作物の収穫状況が豊作であったとすれば、t年後に豊作である確率と不作である確率を求めよ。

お願い致します。

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willow859さん

2017/8/1006:44:19

マルコフ連鎖
ある年、豊作であった年、翌年も豊作である確率は0.6で、不作であった年の翌年がまた不作である確率
は0.3とする。
今年、この地域の農作物の収穫状況が豊作

豊作と不作しかないとする

n+1回目はn回目のみ依存するのがマルコフ連鎖。


t年後
x[t]=
[豊作]
[不作]
とする。

x[t+1]=
[0.6…0.7]
[0.4…0.3]x[t]
とおける

A=
[0.6…0.7]
[0.4…0.3]

[0.6…0.7][x]……[x]
[0.4…0.3][y]=λ..[y]
であるλを考える。
[0.6-λ…0.7]…[x]…[0]
[0.4……0.3-λ][y]=[0]……………………♦

[x]…[0]
[y]≠[0]
なる解を持つためには

(0.6-λ)(0.3-λ)-0.7・0.4=0
10λ^2-9λ-1=0
(10λ+1)(λ-1)=0
λ=1,-1/10

ⅰ)λ=1のとき(固有値)
♦より
[-0.4…0.7][x]…[0]
[0.4…‐0.7][y]=[0]
より
[x]
[y]の1つは

[7]
[4]…(固有ベクトル)


ⅱ)λ=‐1/10のとき
[0.7…0.7][x]…[0]
[0.4…0.4][y]=[0]
[x]
[y]の一つは

[-1]
[1]

P=
[7…-1]
[4…1]とおく

Pの逆行列P^(‐1)は
P^(-1)=
(1/11)[1…1]
………[-4…7]

(P^(-1)AP)^t=P^(-1)・A^t・Pより

P^(-1)AP=
(1/11)[1…1][0.6…0.7][7…‐1]
………[-4…7][0.4…0.3][4…1]

[1…0]
[0…‐1/10]

[1…………0]
[0…(-1/10)^t]=P^(-1)・A^t・P

A^t=
P・[1…………0]……・P^(‐1)
……[0…(-1/10)^t]

(1/11)[7…‐1][1…0][1…1]
………[4……1][0…α][‐4…7]...(α=(‐1/10)^tとおく)
=
(1/11)[7+4α…7-7α]
………[4-4α……4+7α]……………………◎


題意より、0年目は豊作より
x[0]=
[1]
[0]

x[t]=
(1/11)[7+4α…7-7α]…[1]
………[4-4α……4+7α][0]
=
(1/11)[7+4α]
………[4-4α]

よって
t年後の
豊作は(1/11){7+(-1/10)^t}
不作は(1/11){4-(-1/10)^t}

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