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確率 「東郷平八郎の訓示」について (問)「百発百中の大砲1問は百発1中の大砲...

ten********さん

2017/8/2213:12:53

確率 「東郷平八郎の訓示」について

(問)「百発百中の大砲1問は百発1中の大砲百門に匹敵する。」この訓示は数学的に正しいか?

(この問の解答)
百発1中の大砲がn門あるとする。

百発百中の大砲が勝つ確率は
(99/100)^n・(99/100)^(n-1)・…・99/100 [①]
=(99/100)^{ n(n+1) /2 }
=( (1-1/100)^100 ) ^{ n(n+1)/200}
≒exp(-n(n+1) /200) ≧ 0.5 [②]
となり,exp (0.7)≒0.2と合わせると, n(n+1)/200≒0.7
これを解いてn≦11⇒百発百中の大砲1門が有理
n>=12⇒百発1中の大砲が有理と言える.

(藤田隆彦 著の「弱点克服 大学生の確率・統計」p22-p23より)

この回答で[①]~[②]の箇所で疑問があります。
[①]: 「百発中の大砲が勝つ つまり 百発1中の大砲がはずれる」ということなので
(99/100)をn乗するという考えは納得いきます。
しかし、更に(99/100)^(n-1)・・・とかけている理由が分かりません。

[②]:exp[-n(n+1)/200]>=0.5はどのようにすれば分かるのでしょうか?
アバウトな考えですが、exp(1)=2.7は,だいたい2 だから, exp(-1)=0.5 .
exp(-n(n+1)/200)の 指数は-1より 大きいから、0.5よりは大きいと思えば納得できます。

どちらか1つでも良いので、解答の方よろしくお願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kom********さん

2017/8/2214:12:42


百発1中の大砲がn門ある時、すべて外す確率…(99/100)^n

百発百中の大砲が百発1中の大砲を一つ破壊し、残りn-1門に。

百発1中の大砲がn-1門ある時、すべて外す確率…(99/100)^(n-1)




百発1中の大砲が1門の時、外す確率…99/100

百発百中の大砲が最後の百発1中の大砲を破壊し、百発百中の大砲が勝利する。

といったサイクルを考えているのだと思います。


有利不利の問題です。①で導出した確率が50%より大きければ(勝or負)、百発百中の大砲が確率上勝利し、有利になると考えられるだけです。

質問した人からのコメント

2017/8/22 15:33:54

ありがとうございます。
理解できました。

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