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半径2rの円の内側を半径rの円が、接しながら転がって1回転するとき、 小さい円...

bub********さん

2017/9/2305:25:40

半径2rの円の内側を半径rの円が、接しながら転がって1回転するとき、
小さい円の回転数は8πr÷2πr=4回でなく実は5回であるという理由を
分かり易く説明する方法はありますかね。

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jup********さん

2017/9/2306:24:08

bublububuilさん

半径2rの円の内側を半径rの円が転がるときの
小円の回転数は(4πr/2πr)-1=2-1=1回転です。

外側を転がる時の回転数なら、
(4πr/2πr)+1=3回転です。

他の説明方法もあるが、実験的・視覚的な手段としては
添付図のような方法が1番分かりやすいと思う。
(遥か昔の『中学への算数』で紹介された説明です)

まずは大きい円の円周の長さ(4πr)を一直線にして
その上を小円を転がします。

このとき、小円が左端→右端にいく間に
時計回りに2回転します。

ここから内側を通るように、
終点と円が接した状態で一直線にしておいた4πrの直線を
丸めていきます。
その場合、終点を図のように反時計回りに動かすことで
小円がAの位置に戻すことができます。

つまり平坦なら時計回りに2回転したが、
道を円状にする過程で反時計回りに1回逆回転するので
結果として2-1=1回転しかしない。

大きい円の外側を通る場合は、
丸める過程で時計回りに1回転させるので、
2+1=3回転するようになる。

bublububuilさん

半径2rの円の内側を半径rの円が転がるときの...

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