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実数の集合においてf は連続関数で、関数方程式 f(x + y) = f(x) * f(y) であるな...

san********さん

2017/10/804:44:45

実数の集合においてf は連続関数で、関数方程式 f(x + y) = f(x) * f(y) であるならば、a = f(1) の時 f(x) = a * x であることを証明せよ、という問題。

できれば具体的な証明の仕方を教えて頂けると有難いです。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

got********さん

2017/10/917:11:23

fが微分可能であることは仮定されていませんから、
fが連続であることと実数の連続性を用いて証明します。

仮定より、
f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)={f(0)}^2
が成り立ちます。
これを変形すると
f(0){f(0)-1}=0
となりますから、

(1)f(0)=0
または
(2)f(0)=1
が成り立ちます。

(1)の場合

任意のxに対して
f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=f(x)・0=0
となりますから、
f(x)=0(定数関数)
となります。

(2)の場合

f(1)=f((1/2)+(1/2))=f(1/2)f(1/2)={f(1/2)}^2 より
f(1)>0 が成り立ちます。

f(2)=f(1)f(1)={f(1)}^2、
f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=[{f(1)}^2]f(1)={f(1)}^3。
これを繰り返すことにより、任意の自然数nに対して
f(n)={f(1)}^n
が成り立つことがわかります。

また
f(2/n)=f((1/n)+(1/n))={f(1/n)}^2、
f(3/n)=f((2/n)+(1/n))=[f(1/n)}^2]f(1/n)={f(1/n)}^3。
これを繰り返すことにより、
f(1)=f(n/n)={f(1/n)}^n、
すなわち、
f(1/n)={f(1)}^(1/n)
および
f(m/n)={f(1)}^(m/n)
が成り立ちます。
すなわち、任意の正の有理数qに対して
f(q)={f(1)}^q
が成り立ちます。

次に任意の正の有理数qに対して
1=f(0)=f(-q+q)=f(-q)f(q) より
f(-q)=1/f(q)=1/[{f(1)}^q]={f(1)}^(-q)
が成り立ちます。

ここまでで、任意の有理数qに対して
f(q)={f(1)}^q
が成り立つことが確かめられました。

最後に、
実数が連続であることより、
任意の実数xに対して、xに収束する有理数の列
q(1),q(2),...q(n),...
で、xに収束するものが存在します。
fが連続であることより
f(x)=lim(n→∞)f(q(n))=lim(n→∞){f(1)}^{q(n)}={f(1)}^x
が成り立ちます。

以上から、任意の実数xに対して
f(x)={f(1)}^x
が成り立ちます。
a=f(1)とおけば
f(x)=a^x
となります。

質問した人からのコメント

2017/10/14 07:57:48

ご回答ありがとうございます!

勉強になりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

zet********さん

2017/10/807:21:55

質問にある「*」は何を表していますか?

質問が
実数の集合においてf は連続関数で
f(x + y) = f(x)・f(y)
a = f(1)
のとき
f(x) = a^x

とするのであればつじつまは合うのですが。

返信を取り消しますが
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