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k:体,k[x]:一変数多項式環 【剰余の定理】 f(x),g(x)∈k[x]としf(x)≠0とする...

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ID非公開さん

2017/10/1019:15:47

k:体,k[x]:一変数多項式環

【剰余の定理】
f(x),g(x)∈k[x]としf(x)≠0とする
このときk[x]の元q(x),r(x)が存在して

g(x)=q(x)f(x)+r(x)
ここでr(x)=0かdegr(x)<degf(x)を満たす
このようなq(x),r(x)は与えられたf(x),g(x)によって一意的に定まる

この定理の証明が分かる方お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

chi********さん

2017/10/1113:00:39

k:体,k[x]:一変数多項式環 【剰余の定理】 f(x),g(x)∈k[x]としf(x)≠0とする...


## fwetw0824 なる人物は,知らない振りをして数学の質問し,回答した
## 人を小馬鹿にして喜んでいる偏執狂です.
## 下手に絡んで,不快な思いをされないよう,ご注意ください.
## 謝罪をせずに逃回り,最近は,ID非公開で同様の質問しています.
.
.
fwetw0824 様
.
いつまでも逃回って,深夜にID非公開で質問する生活は疲れませんか?
大学の勉強が,ますます疎かになりますよ.
留年したくなかったら,正常な生活を取り戻した方がいいですよ.
早く謝罪しなさい.
.
fwetw0824
https://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/fwetw0824
.
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q101649729...
>> これまでの戸松遥さんの写真集を全て買いたいのですが、売り切れが
>> 続出で買えても送料が高いです。
>> 何処か店舗で買えるところ知りませんか?
>>.
>> liareater06さん 2016/9/3 012:15:50
>> 揃えたいなら送料が高いとか抜かすなよ
.
確かに,揃えたいなら,送料をケチってはいけません.
その後,写真集は全部揃いましたか?
.
.
ところで,先日の質問で訊いていた,
杉浦光夫『解析入門Ⅰ』5ページの例3 で推移律が成立している事の
確認はできましたか?
回答者のちょっとしたミスを小馬鹿にして,さぞ気分がいいんでしょうね.
しかも,質問を削除して,逃げる.そして,性懲りもなく,また,同じ
ような質問を繰返す.
たった1か月程度で,ほとぼりがさめるとでも思っているのでしょうか.
.
結合律,推移律,戸松遥,偏執狂.
.
これまでに,一言の謝罪もありません.
これからも,ないのでしょうか.
早急な謝罪を求める.

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cet********さん

2017/10/1020:16:51

まず一意性はおいておき、q(x),r(x)の存在を示します:
m=deg f(x) > n=deg g(x)ならq(x)=0, r(x)=g(x)となります
m≦nのときを、nに関する数学的帰納法で証明します
f(x)=a[m]x^m+...+a[0], g(x)=b[n]x^n+...+b[0] (m≦n)とおきます

[1]n=mのとき
q(x)=b[m]/a[m], r(x)=g(x) - b[m]/a[m] f(x)とすればよく、確かに存在します

[2] n≧mのとき
g(x)=q(x)f(x)+r(x)(r(x)=0かdeg r(x)<deg f(x)を満たす)となるq(x),r(x)が存在すると仮定します
g1(x)=g(x) - b[n]/a[m] f(x) x^(n-m)とおくと
n>deg h(x)なので、仮定より
g1(x)=q1(x)f(x)+r(x)(r(x)=0かdeg r(x)<deg f(x)を満たす)となるq1(x),r(x)が存在します
よって
g(x)=q(x)f(x)+r(x), q(x)=q1(x)+b[n]/a[m] x^(n-m)とすればよく
たしかにq(x),r(x)は存在しました。

つぎに一意性を示します:
g(x)=q(x)f(x)+r(x)・・・①
かつ
g(x)=q0(x)f(x)+r0(x)・・・②
で、r(x)≠r0(x)だったとします
①と②を辺々ひいて
(q(x)-q0(x))f(x)=r0(x)-r(x)
このとき、deg f(x)>deg(r0(x)-r(x))なので
q(x)-q0(x)=0である必要があり、r(x)=r0(x)となって矛盾します
したがって
q(x)=q0(x), r(x)=r0(x)となるしかありません。

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