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過去の東進からの挑戦状の問題です。東進の校舎に問い合わせたところ、もう過去の...

jok********さん

2017/10/2403:00:08

過去の東進からの挑戦状の問題です。東進の校舎に問い合わせたところ、もう過去の問題の解説動画はみれないみたいなのです。解答・解説をよろしくお願いします。

r,hを正の定数とする。

底円の半径がr、高さが1の直円柱Tの1つの母線の両端点をA,Bとする。
AとBを結び、Tの側面上を1周する曲線の中で、長さが最も短いものをCとする。

点PがC上を動く時、PからTの中心軸に下ろした垂線PQが通過してできる曲面をRとし、
Rを→ABに平行な方向にhだけ平行移動したときに
Rが通過してできる立体をUとする。
(1)Uの体積Vを求めよ
(2)Rの面積Sを求めよ

補足suzukishigeo3968さん
解答・解説をありがとうございました。
よろしければ、最後の積分計算
∫(0→R)√{1+(2πr)^2}dr
の計算過程と結果を示していただけると助かります。

東進,母線,中心軸,a-b,両端点,体積,底面OCD

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suz********さん

2017/10/2414:14:57

下図を参照して下さい。

(右図は曲面がある部分の円柱の側面の展開図。)

AA'=hとして曲面の下側の体積V(h)を求めるために、微小体積

ΔVについて考える。今、底面の円の中心をOとし、円の半径を

都合により、OA=Rと表わす。

∠AOC=θとすれば、

弧AC=L=Rθ....①

よって、

弧CD=ΔL=RΔθ.....②

ところで、

底面OCDで高さCEの立体の体積<ΔV<底面OCDで高さDFの立体の体積

ここで、

展開図より、GE=L/(2πR)、①より、GE=θ/(2π)

CE=AA'+GE=h+θ/(2π)

よって、

底面OCDで高さCEの立体の体積

=(1/2)*OC*(弧CD)*CE

=(1/2)*R*RΔθ*(h+θ/2π)

=(1/2)hR^2Δθ+(1/(4π))R^2θΔθ

又、

展開図より、DF=(L+ΔL)/(2πR)、

①より、DF=(θ+Δθ)/(2π)

DF=h+(θ+Δθ)/(2π)

よって、

底面OCDで高さDFの立体の体積

=(1/2)*OC*(弧CD)*DF

=(1/2)*R*(RΔθ)*{h+(θ+Δθ)/(2π)}

=(1/2)hR^2Δθ+(1/(4π))R^2θΔθ+(1/(4π))R^2(Δθ)^2

よって、

Δθの二次の項を無視して、

ΔV=(1/2)hR^2Δθ+(1/(4π))R^2θΔθ

={(1/2)hR^2+(1/(4π))R^2θ}Δθ

よって、

求める体積V(h)

=∫(0→2π){(1/2)hR^2+(1/(4π))R^2θ}dθ

=πhR^2+(1/2)πR^2

又、

h=0の時の体積はV(0)=(1/2)πR^2だから、

曲面が移動した時の体積

=V(h)-V(0)

=πhR^2

下図を参照して下さい。

(右図は曲面がある部分の円柱の側面の展開図。)...

  • suz********さん

    2017/10/2414:20:56

    次に曲面の面積について。

    点Oを中心に半径がΔrの違いがある無数の同心円

    の円柱でこの曲面を切る。下図は、EC=Δrで無数

    の同心円の円柱の中の2つによって切り取られる

    曲面の部分で、赤く塗った帯状の形は、ほとんど

    長方形とみなす事ができます。

    今、

    OC=rとすると、曲線CDの長さはその円柱の展開図

    より、CD=√{1+(2πr)^2}となる。

    よって、

    帯状の面積dσ=縦*横=CD*dr=√{1+(2πr)^2}dr

    よって、

    求める面積=∫(0→R)√{1+(2πr)^2}dr

    (以下略)

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