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数学の問題です。 二次関数 y=ax^2+2ax+b (-2≦x≦1) の最大値が10,最小値が-2と...

gou********さん

2008/8/520:24:37

数学の問題です。

二次関数 y=ax^2+2ax+b (-2≦x≦1) の最大値が10,最小値が-2となるように定数 a,b の値を求めよ。

まずどのような手順で求めればよろしいのでしょうか?
また、よろしければ解説をお願いします。
グラフを書けばわかりやすいとは思いますが。

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ベストアンサーに選ばれた回答

inv********さん

編集あり2008/8/521:09:48

y=ax^2+2ax+b
=a(x^2+2x)+b
=a(x+1)^2-a+b
よって、頂点(-1,-a+b)であることがわかる。軸の方程式x=-1は定義域-2≦x≦1内にあるので①a>0のとき②a<0のときの2つの場合を考えればよい。
①a>0のとき[下に凸のグラフ]頂点で最小値-2,x=1のとき最大値10をとるから
{-a+b=-2
{3a+b=10
この連立をといてa=3,b=1
②a<0のとき[上に凸のグラフ]頂点で最大値10,x=1のとき最小値-2をとるから
{-a+b=10
{3a+b=-2
この連立をといてa=-3,b=7

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

chi********さん

2008/8/521:16:09

・軸を求める
・aが正か負かで場合分け(グラフの形が変わるので)
・それぞれの最大値最小値をa,bを用いて表す
・方程式を解く

平方完成して、

y=a(x+1)^2-a+b
よって、軸:x=-1

xの範囲は-2≦x≦1なので、

(i)a<0のとき
x=-1のとき、最大値 a-2a+b=-a+b・・・①
x=1のとき、最小値 a+2a+b=3a+b・・・②

①:-a+b=10
②:3a+b=-2
①②を解いて、a=-3,b=7(a<0より、a=-3は正しい。)・・・(答)

(ii)0<aのとき
x=-1のとき、最小値 a-2a+b=-a+b・・・①
x=1のとき、最大値 a+2a+b=3a+b・・・②

①:-a+b=-2
②:3a+b=10

①②を解いて、a=3,b=1(0<aより、a=3は正しい。)・・・(答)

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