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統計学の問題についてです。 わが国の高校生のIQの平均は110,標準偏差は10であ...

xxx********さん

2017/12/1212:00:03

統計学の問題についてです。

わが国の高校生のIQの平均は110,標準偏差は10である。
ある高校の高校生49人をランダムに選び、IQを調べたところ49名の平均は112であった。
この調査結果から

、この高校の高校生のIQの平均はわが国の高校生の平均より高いと言えるだろうか。
有意水準5%で検定しなさい。

ここからが私の回答(途中)です。
文意よりμ=110、 σ=10 ,またn=49 ,Xbar(平均値)=112, α=0.05

帰無仮説 μ=110
対立仮説 μ<110(左側検定)

σが既知であるので検定量はz分布に従う
α=0.05のとにさき、臨界値z=-1.64485
よって検定量が-1.64485以下の時に帰無仮説を棄却する。

このとき、帰無仮説と対立仮説のたて方がいまいち理解できていません。この問題の場合どのようにして考えればよいのでしょうか?

模範解答もよろしければお願いします。

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qas********さん

2017/12/1420:15:19

貴方の解答ではまずいところがいくつかあります。

> 文意よりμ=110、 σ=10 ,またn=49 ,Xbar(平均値)=112, α=0.05

μ, σ, n、αは、定義してから使用してください。

> 帰無仮説 μ=110
> 対立仮説 μ<110(左側検定)

対立仮説が間違っています。

> σが既知であるので検定量はz分布に従う

σは既知とするのは仕方がないと思いますが、検定統計量が何かは記載すべきです。
また、「z分布」とは限りません。
それと、これは「正規分布」のこととは思いますが、一般的な言い方ではありません

以下、模範ではありませんが、帰無仮説、対立仮説の立て方の説明も含めて記載すると、こんな感じでしょうか。

ある高校の高校生のIQの分布は、母平均がμで母標準偏差がσの分布に従うとします。
その高校から49人をランダムに選んだとき、IQの標本平均Xは、中心極限定理により近似的に正規分布N(μ,σ^2/49)に従います。
問題文には明示されていませんが、σは我が国の高校生のIQの標準偏差と等しいと仮定します。

さて、今知りたいことはそのある高校のIQの平均μが全国平均110より高いかどうかということで、μ > 110 であるかどうかです。
従って、帰無仮説を μ = 110、対立仮説を μ > 110 となります。

μが大きいほど、Xは大きい値になりやすいことから、Xが110より十分に大きい値となったら、帰無仮説よりも対立仮説が正しいのだろう結論付けます。
cを110より大きい定数として、帰無仮説が正しい場合に X > c となる確率をα以下に抑えることができれば、それが有意水準αでの検定となります。

帰無仮説が正しい条件では、
(X-110)/√(σ^2/49) = (X-110)/(10/7) =
は標準正規分布N(0,1^2)に従うことから、有意水準αに対して
P((X-110)/(10/7) > c) = α
となるcを求めれば良いのです。
正規分布表等により c = 1.645 であることが知られているので、
(X-110)/(10/7) > 1.645
であるときに、帰無仮説を棄却するということになります。

今、標本平均Xは112であるので
(112-110)/(10/7) = 1.4 < 1.645
となり、帰無仮説を棄却できません。
よって、その高校の高校生のIQは全国平均より大きいとは言えないとなります。
(全国平均と等しいと言っているわけでもありません)

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