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点Oまわりに自由に回転できる質量Mの剛体が静止している。

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ID非公開さん

2017/12/2018:22:38

点Oまわりに自由に回転できる質量Mの剛体が静止している。

いま、点Oからlだけ離れた位置に質点とみなせる質量mの弾丸を速度vで水平に打ち込んだところ、弾丸と一体となった剛体は微小角αだけ触れ、その後周期Tの振動をした。このとき次の手順で弾丸の速度vを求めよ。ただし、点Oから剛体の重心Gまでの距離をhとし、弾丸が撃ち込まれたことによる重心の変化は無視できる。

1.弾丸が衝突する直前と直後における角運動量保存式を示せ。ただし、剛体の点Oに関するモーメントをI、弾丸が撃ち込まれた瞬間に剛体が得た角速度をωとしてよい。なお、剛体の角運動量は慣性モーメントと角速度を掛け合わせることで得られる。

2.弾丸が撃ち込まれた直後の運動エネルギーと、剛体が角度αだけ触れた時の位置エネルギーを考え、エネルギー保存式を示せ

3.上2式よりωを消去し、弾丸が撃ち込まれた時の速度vをもとめよ。必要であれば1-cosα=2sin^2(α/2)を使用して良い

4.振動の周期Tを求めよ

5.周期Tを用いて、3.で求めたvよりIを消去し、最終的な解を求めよ。


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chie_axさん

2017/12/2208:14:15

点Oからlだけ離れた位置というのが、説明不足だと思いますが、点Oから鉛直下方にlだけ離れた位置とする。
慣性モーメント I は衝突後の慣性モーメントとする。

(1) mvl = Iω ・・・①

(2) (1/2)Iω² = (M+m)gh(1-cosα)
Iω² = 2(M+m)gh・2sin²(α/2)
αが小さいとき
sin(α/2)= α/2 なので
Iω² = (M+m)ghα² ・・・②

(3)①より
ω=mvl/I
②に代入
I(mvl/I)² = (M+m)ghα²
(mvl)² = I(M+m)ghα²
v² = I(M+m)ghα²/(ml)²
v = {α/(ml)}√{I(M+m)gh} ・・・③

(4) 重心が鉛直からθの角のとき
θ=αsin(2πt/T)
dθ/dt = (2πα/T)cos(2πt/T)
t = 0 のとき dθ/dt = ω なので
2πα/T = ω
T = 2πα/ω
②より
α²/ω² = I/{(M+m)gh}
なので
T = 2π√[I/{(M+m)gh}] ・・・④

(5) ④より
I = T²(M+m)gh/4π²
③に代入すると
v = {α/(ml)}T(M+m)gh/(2π)
v = αT(M+m)gh/(2πml)

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