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ゲーデルの不完全性定理は、算術を含む理論に適用できるらしいですが、要は、解析...

pet********さん

2018/1/307:45:46

ゲーデルの不完全性定理は、算術を含む理論に適用できるらしいですが、要は、解析学などは影響を受けるが、群論などは直接は影響を受けない、と言うことですか?

また、物理学は”数値”を出すのも一つの仕事だし、算術をその基礎部分に含むと思うのですが、物理学の万物理論を否定するものではない、と言われるのはなぜでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

s12********さん

2018/1/312:55:40

群論は、演算や公理を包括した分野なので、公理についての定理であるゲーデルの不完全性定理も群論に含まれます。
ただし、ゲーデルの不完全性定理は無矛盾な帰納的公理系に適用される定理ですから、選択公理などの独立した公理系についての言及はありません。

また、物理学でも数学を使いますがその根本となる基準は異なります。

数学の成果(証明)は、論理的に正しいか否か。
物理学の成果(証明)は、観測や実験で正しいか否か。

数学的に「1個の球を分割して再び組み合わせることで、元の大きさと同じ球を2個作れる」が正しいと証明されていていても、物理的に観測できなければ物理学には影響しないのです。
※バナッハ・タルスキーのパラドックス


かなり大雑把な例えにすると
「地球にはいっぱい国があって、いろんな法律の国があるよね。」←これが群論。
数学国が使う法律と自然科学国が使う法律に同じものがっても、違うものがあっても、
お互いの文化(基準)を侵害しなければ、すべて世は事もなし。

群論は、演算や公理を包括した分野なので、公理についての定理であるゲーデルの不完全性定理も群論に含まれます。...

  • 質問者

    pet********さん

    2018/1/317:24:51

    バナッハ・タルスキのパラドックスが現実世界において不可能なことは、現実世界においてそのような”分割”をすることができない、という主張から明白ですが、それならば、例えば、ある数学的に記述される理論の公理にそのようなものを付け加えれば、ある程度物理学の観測に合うように理論を改変できるのであって、その理論のみから演繹できる結論には限界がある、と考えることはできないのですか?

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質問した人からのコメント

2018/1/3 18:53:51

ありがとうございます。少しスッキリしました。
実は、まだ不完全性定理の証明そのものはちゃんと読んだことがないので、しっかり勉強したいです。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ecl********さん

2018/1/310:25:22

数学基礎論ってあまりしらないのですが、不完全性定理でヒルベルトの形式主義のヒルベルトプログラム、って言うのか、「誰もカントールの楽園から我々を追放することはできない」としてはじまったもくろみが否定されたわけでなく、その実行が非常に難しいものであるってことを昔本で読んだことがあります。ゲーデル自身が「形式化された数学においては」という言葉を使ってる云々って感じ。形式化された数学=数学とは、ならないということなのかもしれません。

あと、ゲーデルのいた環境とか時代背景も重要で、彼は論理実証主義のなかにいたということで、その運動は、フレーゲ、ラッセルと前期ヴィトゲンシュタインの「論理哲学論考」の影響を強く受けていた運動だそうで、ヴィトゲンシュタインは後期において、前期の主張を否定することから生まれるとか、その言語学は今日の自然言語処理の意味論とかに大きく影響を与えていくように思われます。この辺の話は放送大学のラジオで「経験主義と言語哲学」の12回に出てきます。この講義、最初は退屈ですが、でも経験主義の流れのなかで、マッハ哲学などが現れて面白くなってくるのですが。。。

物理は、物理的直感で数式を使ってるように私には見受けられます。それが、いろいろ数学に予言を与える結果に(ミラー対称性など)。
その意味でも、「物理学の万物理論を否定するものではない」は正しいのではないでしょうか。

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