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代数学の質問です。 L/Kを体のn次拡大とする。 任意のt∈Lに対して、 f(t)=0とな...

los********さん

2018/1/1918:51:48

代数学の質問です。
L/Kを体のn次拡大とする。
任意のt∈Lに対して、
f(t)=0となるf(X)∈K[X]-{0}で、deg(f(X))≦nなるものが存在する。
の証明を教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/1/1921:14:16

K 上のベクトル空間としてみたとき
L は n次元ベクトル空間となるので
n+1 個の L の元 1, t, t^2, ..., t^n は K 上線形従属です。

よって、a[0]+a[1]t+...+a[n]t^n=0, (a[0], a[1], ..., a[n])≠(0, 0, ...., 0) を満たすa[0], a[1], ..., a[n]∈K が存在します。

ここで、f(X)=a[0]+a[1]X+... +a[n]X^n とおくと
f(X)∈K[X]ー{0} で、deg f(X)≦n となり
f(t)=0 です。

したがって、f(t)=0 となる f(X)∈K[X]ー{0} で、deg f(X)≦n を満たす f(X) が存在します。

質問した人からのコメント

2018/1/19 21:15:12

ありがとうございます!

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