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イジングモデル・分子場近似について

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ID非公開さん

2018/2/1620:39:47

イジングモデル・分子場近似について

最近接格子のみの交換作用を考えるとき、
Σ 1 というシグマがでてきて、これが
(i,j)

Nz/2となる(ただしNは格子点の数でzは最近接点の数。zはたとえば正方格子なら4、立方体なら6)そうなのですが、なぜこうなるのかわかりません。

説明では、N個それぞれが最近接z個の格子と作用して、ただし同じボンドを2回数えているので2で割る、としていたのですが、実際は端の方を考えるとそうではないと思ってしまいます。
たとえば2×2正方形のそれぞれの頂点が格子点であるのを考えると、計算では4×4/2=8ですが、実際は辺の数なので4だと思います。

私が何を誤解しているのかお教えいただければと思います、よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mat********さん

2018/2/1621:42:46

厳密にはその通りですが、格子点数が十分に多い場合にはそのような境界の効果は無視できます。
例に挙がっている正方格子で考えると、2×2では仰る通りボンドの数をNz/2で近似できませんが、十分大きいnに対してn×nの格子ではNz/2で近似できます。(N=n×n)
実際に計算して厳密なものと比較するとその通りであることが確かめられるでしょう。
こうなる理由は単純です。
n×nの格子のボンド数をNz/2で計算することで「余分に数えてしまうボンド」というのは、正方格子の境界部分ですから、その数は所詮はnのオーダーに過ぎません。
全ボンド数はnの2乗のオーダーなので、n>>1では、Nz/2で計算しちゃって問題ないのです。

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    質問者

    ID非公開さん

    2018/2/1622:28:18

    やはりそういうことだったんですね!
    納得しました、わかりやすいお答えありがとうございました。

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