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確率統計の質問です

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ID非公開さん

2018/2/1801:03:02

確率統計の質問です

X,Yは確率関数 fX(x)=(λ^x)(e^-λ)/x! (x=0,1,2…)
fY(y)=(μ^y)(e^-μ)/y! (y=0,1,2…) を持つポアソン分布(λ.μ>0)に従う確率変数とする
(1)X.Yの同時確率関数を求めよ
(2)Z=X+Yとするとき、X,Zの同時確率関数を求めよ
(3)Zの周辺確率関数を求めよ
よろしくお願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

elg********さん

2018/2/1808:38:55

互いに独立な2変数について同時確率関数は
それぞれの確率質量関数の積である。
すなわち、
P[X,Y](x,y)=(λ^x exp(-λ)/x!)(μ^y exp(-μ)/y!)
=λ^x μ^y exp(-λ-μ)/(x!y!)
(以上、x,yがともに非負整数のとき。
そうでなければP[X,Y](x,y)=0)
である。

Z=X+Y, W=X としてみよう。
すると、X=W, Y=Z-W であるから、
先ほど求めた P[X,Y](x,y) にこれを代入してやれば
同時確率関数の形そのものは容易に求められる。
P[W,Z](w,z)=P[X,Y](w,z-w)
=λ^w μ^(z-w) exp(-λ-μ)/(w!(z-w)!)
(ただし、Wは非負整数、ZはW以上の整数のとき。
そうでなければP[W,Z](w,z)=0)
このP[W,Z] は単純にWをXと書き換えても成立するから、
P[X,Z]=λ^x μ^(z-x) exp(-λ-μ)/(x!(z-x)!)
(ただし、Xは非負整数、ZはX以上の整数のとき。
そうでなければP[X,Z](x,z)=0)
である。

Zの周辺確率関数を求めるには
P[X,Z](x,z) において、Z=z と固定したときの
すべての取りうる X の場合の確率を足し合わせればよい。
すなわち、
f[Z](z)=Σ[x=0,∞]P[X,Z](x,z)
という式で求められるのである。
とはいえ、Z=z としたときの X が取りうる範囲は
X=0, ..., z である。なぜならば、X は X>0 であることと、
Z>=X を同時に満たすからである。
よって、
f[Z](z)=Σ[x=0,∞]P[X,Z](x,z)=Σ[x=0,z]P[X,Z](x,z)
=Σ[x=0,z](λ^x μ^(z-x) exp(-λ-μ)/(x!(z-x)!))
=exp(-λ-μ)Σ[x=0,z](λ^x μ^(z-x) /(x!(z-x)!))
=(exp(-λ-μ)/z!)Σ[x=0,z](λ^x μ^(z-x) z!/(x!(z-x)!))
=(λ+μ)^z exp(-λ-μ)/z! # 二項定理
と求められるのである。

この結果をもって、
「互いに独立なポアソン分布に従う確率変数の和は
それぞれのポアソン分布の平均の和をパラメータにもつポアソン分布に従う」
(ポアソン分布は再生性をもつ)という結論が得られるのである。


...同じ問題がすでにネットに転がっているので、
これぐらいは自分で調べてくださいね。
https://mcm-www.jwu.ac.jp/~konno/pdf/statga19.pdf

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