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Zについての方程式z^3-3z^2+(1+a)z+a=0が純虚数解をもつような実数Aの値を求めよ。

ikk********さん

2018/2/2420:14:15

Zについての方程式z^3-3z^2+(1+a)z+a=0が純虚数解をもつような実数Aの値を求めよ。

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hir********さん

2018/2/2420:54:58

実数係数の3次方程式が、p+qiを解に持つなら、共役なp-qiも解。
純虚数解ならば、p=0の時に過ぎない。

第3の解をαとすると、解と係数より
(qi)+(-qi)+α=α=3 ‥‥①
(qi)(-qi)+α(qi)+α(-qi)=q^2=a+1 ‥‥②
α(qi)(-qi)=αq^2=-a ‥‥③

よって、①から、α=3
この時、③から、3q^2=-a ‥‥④
②と④から、a=-4/3.


質問者:ikkyusan3_0426さん。2018/2/2420:14:15

質問した人からのコメント

2018/2/28 10:04:02

皆さんありがとうございます!
とえも分かり易かったです!

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ari********さん

2018/2/2511:54:16

z^3ー3z^2+(1+a)*z+a=0
a は実数であるゆえ 純虚数解を z=±α*i (α∈R) と置けば z^2+α^2 で割り切れる。
z^3ー3z^2+(1+a)*z+a=(z^2+α^2)*(zー3)+(1+aーα^2)*z+a+3α^2
a+3α^2=0 → a=-3α^2 より 1+aーα^2=1ー4α^2=0
α=±1/2、a=-3α^2=-3/4、実数解は zー3=0 より z=3。
∴ a=-3/4、z=±(1/2)*i、z=3。

Zについての方程式 z^3-3z^2+(1+a)z+a=0 が

純虚数解を1つでも良いから持てば良いわけですよね。

だったら、その純虚数解をz=αiと置けば

実数 α≠0であって、与式に代入すれば

ー(α^3)*i+3*α^2+(1+a)*α*i+a=0

実数部と虚数部に分離して、=0と置くだけで

3*α^2+a=0・・・①

ー(α^3)+(1+a)*α=α{(1+a)ーα^2}=0

実数 α≠0ですから、(1+a)ーα^2=0

この α^2=(1+a) を①に代入すれば、

3(1+a)+a=0 ゆえに、a=-3/4 と求まります。


解と係数なんて仰々しく言わずともOKです。

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mis********さん

2018/2/2420:23:42

z=bi(bは実数,b≠0)とおいて代入すると
b^3i^3-3b^2i^2+(1+a)bi+a=0
-b^3i+3b^2+(b+ab)i+a=0
(a+3b^2)+(-b^3+b+ab)i=0
a+3b^2,-b^3+b+abは実数だから
複素数の相等より
a+3b^2=0…①
かつ
-b^3+b+ab=0…②
が成り立つ

①よりa=-3b^2…③
②に代入して
-b^3+b-3b^3=0
4b^3-b=0
b(4b^2-1)=0
b≠0より
4b^2-1=0
b^2=1/4
③に代入して
a=-3/4

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