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(1)正整数nでn^3+1が3で割り切れるものすべて求めよ。

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ID非公開さん

2018/3/2903:21:41

(1)正整数nでn^3+1が3で割り切れるものすべて求めよ。

(2)正整数nでn^n+1が3で割り切れるものすべて求めよ。
という問題なのですが、先生は合同式を利用して解けと言っていたんですが、どう解いていいのか分かりません!高1でも分かるように説明して下さい!お願い致します!
質問計2個なのでコイン100枚にします!

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ベストアンサーに選ばれた回答

ccx********さん

2018/3/2909:27:29

(1)
①n≡0(mod 3)のとき
n^3+1≡1 (mod 3)より、不適。

②n≡1(mod 3)のとき
n^3+1≡1^3+1≡2 (mod 3)より、不適。

③n≡2(mod 3)のとき
n^3+1≡2^3+1≡0 (mod 3)より、3で割り切れる。

よって、3で割って2余る数。



(2)
①n≡0(mod 3)のとき
n^n+1≡1 (mod 3)より、不適。

②n≡1(mod 3)のとき
n^n+1≡1^n+1≡2 (mod 3)より、不適。

③n≡2(mod 3)のとき
n^n+1≡2^n+1 (mod 3) となる。・・・★

ここで、
2^1≡2 (mod 3)
2^2≡2*(2^1)≡2*2≡1 (mod 3)
2^3≡2*(2^2)≡2*1≡2 (mod 3)
2^4≡2*(2^3)≡2*2≡1 (mod 3)
などより、

2^nを3で割った余りは、
1と2が交互に現れる形となる。


よって、★において
2^n+1≡0 (mod 3)
すなわち、
2^n を3で割って2余るのは、
nが奇数のときだけだとわかる。


以上より、3でわって2余る奇数。

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質問した人からのコメント

2018/3/29 09:43:46

ありがとうございますm(__)m

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

jul********さん

2018/3/2905:01:52

①n^3+1≡0(mod3)
n^3≡-1≡(-1)^3
n≡-1
よって、3で割ると2余るもの(2,5,8…)
②3で割れるためには3の因数を持てば良いので、nが3の倍数であれば全て割り切れます。

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