ここから本文です

3辺の長さが整数である直角三角形に、半径3の円が内接している。このとき、次の問...

Ballerさん

2018/3/3010:49:31

3辺の長さが整数である直角三角形に、半径3の円が内接している。このとき、次の問いに答えなさい。

という問題で、

(1).この直角三角形の斜辺以外の2辺の長さをそれぞれx, yとおくとき、x, yの満たす関係式を求めよ。

(2).この直角三角形の面積の最大値と最小値を求めよ。

という二つの問題なんですが求め方がわからなくて…(´;ω;)

閲覧数:
72
回答数:
3
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

プロフィール画像

カテゴリマスター

nij********さん

2018/3/3011:13:40

S=(1/2)・x・y
S=3・{(x+y+z)/2}
x,yは自然数

z=(x-3)+(y-3)
=x+y-6

xy=3{(x+y)+(x+y)-6}
xy=6x+6y-18
xy-6x-6y=-18
(x-6)(y-6)=18

x,yは3より大きい整数より、
x-6|..1|..2|.3|..6|..9|18|
y-6|18|..9|.6|..3|..2|..1|
...x|..7|..8|.9|12|15|24|
...y|24|15|12|.9|..8|..7|
...S|84|60|54|54|60|84|
面積Sの、
最大値は、84
最小値は、54


(参考)
(x,y)
=(7,24),(8,15),(9,12),(12,9),(15,8),(24,7)

7:24:25
8:15:17
9:12:15





如何でしよう?

質問した人からのコメント

2018/3/30 12:28:16

詳しく説明していただき、ありがとうございました!

ベストアンサー以外の回答

1〜2件/2件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

hir********さん

2018/3/3011:52:54


斜辺をz、とする。
三角形の面積=(内接円の半径)×(3辺の和)/2、の公式より、
xy=3(x+y+z) ‥‥①、
ピタゴラスの定理から、x^2+y^2=z^2 ‥‥②
①と②から、zを消すと、xy=6(x+y)-18 ‥‥③
但し、x>3、y>3 ‥‥④


③を整数の積の形にすると、(x-6)(y-6)=18
x≧yと仮定しても一般性を失わないから、④から、x-6≧y-6>-3.
よって、(x-6、y-6)=(18、1)、(6、3)、の2通りの組み合わせしかない。
つまり、(x、y)=(24、7)、(12、9)。
・(x、y)=(24、7)、の時、S=(xy)/2=84
・(x、y)=(12、9)、の時、S=(xy)/2=54

以上から、54≦S≦84.

2018/3/3011:22:50

(1)
この直角三角形の斜辺以外の2辺の長さをそれぞれx, y
3辺の長さが整数である直角三角形に、半径3の円が内接しているので、
斜辺の長さは、x+y-6となる。
従って、
(x+y-6)^{2}=x^{2}+y^{2}
となる。
従って、
6x+6y-xy-18=0
となる。
また、半径3の円が内接しているので、x>3, y>3となる。

(2)
6x+6y-xy-18=0なので、
y=(18/(x-6)) +6
この直角三角形の面積は、
S=(1/2)xy=(1/2)x((18/(x-6)) +6)=3x(x-3)/(x-6)
となる。
S>0なので、3x(x-3)/(x-6)>0に(x-6)^{2}をかけると、
3x(x-3)(x-6)>0となる。
従って、
0<x<3, 6<xとなる。
従って、x>3なので、x>6となる。
y=(18/(x-6)) +6が整数なので、
x-6が18の約数であれば良い。
従って、
x-6=1, 2, 3, 6, 9 ,18
となる。
(x, y)=(7, 24), (8, 15), (9, 12), (12, 9), (15, 8), (24, 7)
となる。
これらを、S=(1/2)xyに代入すると、順番に、
S=84, 60, 54,54,60,84
従って、
(x, y)=(7, 24), (24, 7)のとき、最大値
(x, y)=(9, 12), (12, 9)のとき、最小値
となる。

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる