ここから本文です

数学的、物理的に言う「次元」って何なのでしょうか?

kna********さん

2018/4/1118:59:59

数学的、物理的に言う「次元」って何なのでしょうか?

一般的に認知されているのは、1が線で2が平面、3が立体であるということくらいですよね。

123に関しては納得なのですが、0や4、またはそれ以上もしくはマイナスの次元もあるのか気になります。

この間知った「接吻数問題」では24次元についても言及されていましたし、無限次元というのも聞いたことがあります。次元とはどう定義されているのでしょうか?

閲覧数:
199
回答数:
3

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

ino********さん

2018/4/1120:49:58

次元の定義や考え方はいくつかあります。
●物理量についての次元
これは、組立単位の掛けられている単位を次元と表現するものです。この場合は、1,2,3…次元というのとは異なり、あくまで単位の組み合わせそのものを次元と表現します。いわゆる「次元解析」という場合はこの意味です。
ex)加速度の単位(m/s^2)の次元:LT^-2
●空間についての次元
定義方法がいくつかありますが、3つだけ紹介します。
①"次元とは、ある1点を表すのに必要な座標の個数である"
例えば、座標平面は2次元ですが、座標平面上の任意の1点は(a,b)という2つの座標によって決定されます。
また、球面(地球表面を想像してもらえれば結構です)上の1点は、「経度」「緯度」の2つの数値によって決定されるので、これもやはり2次元だと言えます。
一方、私たちの身の回りの空間は、「横幅」「奥行」「高さ」の3要素(a,b,c)によって1点が定まるので、3次元空間だということができます。
②"図形の大きさをa倍したとき、その測度がb倍になるなら、その図形はlog[a]b次元である"
まず、「大きさをa倍」とはどういうことかというと、「図形の各辺をa倍に拡大(縮小)する」という意味です。
また、「測度」という用語ですが、「長さ、面積、体積」を一般化したものだと考えてください。4次元以上でも、3次元以下の場合と同様に測度という概念は考えることができます。
ex)1辺が2の正方形の大きさを3倍することを考えます。
元の正方形の面積は2×2=4。
一方、拡大後の正方形の1辺は2×3=6なので、その面積は6×6=36
つまり、正方形に関して、「大きさを3倍」すると、「測度(この場合は面積)が9倍」になることがわかります。
ここで定義に戻れば、
「図形の大きさを3倍したとき、その測度が9倍になるなら、その図形はlog[3]9次元である」といえます。log[3]9=2ですから、確かに正方形は2次元図形だといえるのです。(立方体についても同様に考え、その値が正しく3になることをぜひご自分で確認してみてください。)
この定義の仕方をすると、「フラクタル(ハウスドルフ)次元」なるものを考えることができます。すなわち、「非整数次元」です。フラクタルとは、和訳すれば「自己相似」です。簡単に言えば、「ある部分を拡大してみてみると、同じ形が繰り返されている」という意味です。「フラクタル」で画像検索すればきれいな図形がたくさん見られると思います。
例えば、「コッホ曲線」というフラクタル図形は、その大きさを4倍にすると、測度が3倍になるという不思議な性質を持ちます。これを定義に当てはめれば、「コッホ曲線のフラクタル次元はlog[4]3=0.79248…」ということになります。
少し不思議ですが、「次元をこのように定義すれば、非整数次元を考えることもできる」程度に思っていただいていいと思います。
③"n個の要素からなる数字の組み合わせをn次元とする"
これは、かなり抽象化した定義です。
1個目の定義で、2次元空間の1点は(a,b)で表され、3次元空間の1点は(a,b,c)で表される、という趣旨のことを書きました。これをもっと簡単にして、「数字がn個あるときにn次元」と決めてしまおう、ということです。「4次元空間が想像できない」なんていう心配をする必要はなく、(a,b,c,d)と4つの数が並んでいれば、即「4次元」と言ってしまおう、ということです。
例えば、食べ物の味を、(甘味、酸味、塩味、苦味、旨味)という要素で分け、それぞれを1~10で評価することで表したいとしましょう。例えば、(適当ですが)
ポテチ:(6,3,9,2,4)
イチゴ:(9,7,2,3,5)
等と評価できます。一見次元とは関係ないですが、これらは5個の数の組み合わせからなるので、この評価値は5次元である、ということが可能です。
これは、解釈の仕方によれば、1個目の定義とそう変わりないともいえます。
1個目の定義「次元とは、ある1点を表すのに必要な座標の個数である」の「1点」を「食べ物の味」、「座標」を「数の個数」と言い換えれば、この評価方法は「ある食べ物の味を表すのに必要な数の個数」が5、すなわち次元は5、といえるということです。



少しクールダウンして、もう少し質問に忠実にお答えします。
「0次元とは?」幾何学的に(①,②の定義のように)考えれば、これは点のことです。点は空間的な広がりがないので、点上の1点の位置を表すのに数は必要ないから、点は0次元だと言えます。③の定義で言えば、0個の数の集まりです。もはやなんでもないですね。。。
「4次元以上とは?」これは、①では想像しづらい(定義づけすることは可能)ですが、②では適当な数をaやbに代入することで抽象的に定義できます。③の定義に従えば、n次元とは単なるn個の数の集まりです。
「マイナス次元はあるのか?」残念ながら、ここに示した定義ではマイナス次元を適切に定義することはできません。「マイナスの長さ」や「マイナスの個数」を考えなければいけなくなってしまいます。私も「マイナス次元」というものは聞いたことがありません。


長くなりましたが、簡単にまとめると、次元には様々な定義があり、この定義はあるモデルには適切だが、他のモデルには適さない、などということがあり得ます。各々の定義によって次元の性質は少なからず変わってきます。

  • ino********さん

    2018/4/1120:54:29

    詳しいことはわかりませんが、調べたところ、
    「次元正則化法」
    という方法では、積分の発散をおさえるために次元を(負数どころか)複素数まで拡張するようです。

  • その他の返信(3件)を表示

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

この回答は投票によってベストアンサーに選ばれました!

ベストアンサー以外の回答

1〜2件/2件中

並び替え:回答日時の
新しい順
|古い順

pol********さん

2018/4/1208:26:56

単純に具体的に言えば、「ベクトル表現」した時の成分の数。
無限次元、連続次元は、頻繁に登場するけれど、負の次元は見たことがない。

mik********さん

2018/4/1123:33:30

0次元が点
1次元が線
2次元が平面
3次元が立体
という話ですよね…?

ある一点を示すために、いくつの情報が必要かを考えると良いでしょう。
0次元である一点を求める時、既に1点しか存在しないので、必要な情報は0です。
1次元を数直線と考えると、情報が1つあれば、特定の1点を求めることができます。
2次元をXY座標と考えると、情報が2つあれば、特定の1点を求めることができます。
3次元をXYZ座標と考えると、情報が3つあれば、特定の1点を求めることができます。
例えば、北緯○○度東経△△度のビルの3階に事務所があるという場合、東経がX座標の一点、北緯がY座標の1点、3階がZ座標の1点を求めています。
4次元をXYZ座標+時間と考えると、情報が4つあれば、特定の1点を求めることができます。
例えば友達と待ち合わせする時に、北緯、東経、ビルの階数だけ知らせても、待ち合わせの時間がいつなのか分からないといけないので、時間の情報も必要になります。

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる