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数3 速度と加速度

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ID非公開さん

2018/4/2901:56:09

数3 速度と加速度

点Pは、原点Oを中心とする半径5の円周上を等速円運動している。点(5、0)を出発し、動径OPが毎秒π/6だラジアンだけ回転するとき、次の問いに答えよ。
(1)Pの速さと加速度の大きさ
(2)Pの速度の方向と加速度の方向とが常に垂直であることを示せ。
お願いします><

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koc********さん

2018/4/2902:13:59

(1)
t秒後のPの座標は
P{5cos(π/6)t,5sin(π/6)t}と表せる ・・・①

①をtで微分すると
Pの速さ
={-5・(π/6)sin(π/6)t,5・(π/6)cos(π/6)t}
={(-5π/6)sin(π/6)t,(5π/6)cos(π/6)t}・・・②
Pの速さの大きさ
=√{(25π^2/36){sin^2(π/6)t+(5π/6)cos^2(π/6)}
=5π/6

②をtで微分すると
Pの加速度
={(-5π^2/36)cos(π/6)t,(-5π^2/36)sin(π/6)t}・・・③
Pの加速度の大きさ
=√{(25π^4/36^2){sin^2(π/6)t+(5π/6)cos^2(π/6)}
=5π^2/36

(2)
②③の内積を求めると
=(25π^3/216)
{sin(π/6)t・cos(π/6)t-sin(π/6)t・cos(π/6)t}
=0
よって、Pの速度の方向と加速度の方向とが常に垂直である。

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