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3つの元を持つR={0,1,x}が環であるとき、

bou********さん

2018/5/1013:51:37

3つの元を持つR={0,1,x}が環であるとき、

以下の3つの式を示してください。
①1+1=x
②1+x=0
③xx=1
また、このとき、Rは体にもなることを示してください。

よろしくお願いします。

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mat********さん

2018/5/1017:57:40

1=0ではないから
1+1 =0またはx.

Rは加法に関して群であり, 位数が3なので
0でない1の位数は3だから1+1 =0とはならない.
よって1+1 =x.

1+x =1とするとx=0だから矛盾.
1+x =xとすると1 =0で矛盾
よって1+x =0.

0 = (1+x)(1+x) = 1+ x+x+ xx
だが, xの加法に関する位数も3だから
x +x =1.
よって
0= 1+ 1+xx
=x+ xx.
ゆえに
xx = -x.
だが, -xは0でなくxでもないので,1.
よって
xx =1.

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質問した人からのコメント

2018/5/14 12:57:06

ありがとうございます。

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wat********さん

2018/5/1018:05:11

0と1はそれぞれ加法・乗法の単位元と決まっているのでしょうか。

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