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数学の整数問題でわからない問題があります。 一部の問題だけの解答でも大丈夫で...

メタルさん

2018/5/1323:21:52

数学の整数問題でわからない問題があります。
一部の問題だけの解答でも大丈夫です。よろしくお願い致します。

(1) 3^n+1 + 4^2n-1 は13で割り切れることを示せ。

(2) 26x + 111y = 1 と

なるxとyの解の組みを求めよ。

(3) mがpで割り切れず、pが奇数のとき、m^pのpで割った余りを求めよ。

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ベストアンサーに選ばれた回答

yam********さん

編集あり2018/5/1408:12:49

(3) ですが、p は奇数ですか?素数となってませんか?

取り敢えず (1) を。
合同式を使ってみます。

3^{n+1} + 4^{2n-1}
= 3^{n-1}×3^2 + 4^{2n-2}×4
= 9×3^{n-1} + 4×16^{n-1}

ここで、13 を法として、
3 ≡ 16
ですから、
3^{n-1} ≡ 16^{n-1}
また、
9 ≡ -4
ですから、辺々掛けて、
9×3^{n-1} ≡ -4×16^{n-1}
よって、
9×3^{n-1} + 4×16^{n-1} ≡ 0
つまりこれは 13 で割り切れるということです。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

vbo********さん

2018/5/1409:54:10

私は63歳のジイさんですが問題文はキチンと書いてください
(1)の与式は、「3^(n+1) + 4^(2n-1)」ですね。+1,-1が定数なのかべき乗なのか分からず苦労済ました

(1)数学的帰納法を用います
n=1の時
3¹⁺¹+4²⁻¹=9+4=13
なので、成立する
n=kの時
3ᵏ⁺¹+4²ᵏ⁻¹…①
は13の倍数であると仮定する
n=k+1の時
3ᵏ⁺²+4²ᵏ⁺¹
=3・3ᵏ⁺¹+4²・4²ᵏ⁻¹
=3(3ᵏ⁺¹+4²ᵏ⁻¹)+13・4²ᵏ⁻¹
上記の第1項のカッコ内はn=kの時の仮定で13の倍数としているから
n=k+1の時の「3ᵏ⁺²+4²ᵏ⁺¹」は13の倍数である

よって、全ての自然数で「3ⁿ⁺¹+4²ⁿ⁻¹」は13の倍数であることが証明された

(2)
26x+111y=1…①
x=47,y=-11の時、上記式は成立するから
26・47-111・11=1…②
①-②
26(x-47)+111(y+11)=0
26(x-47)=-111(y+11)…③
26と111は互いに素だから
y+11=26k(k:整数)…④
と置ける。③④から
x-47=-111k…⑤
以上から
(x,y)=(-111k+47,26k-11) (k:整数)…答

(3)は分かりません

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