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水力学の問題です。 鉛直の平面壁に密着しながら、液体の薄い膜が重力の作用によ...

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ID非公開さん

2018/5/2700:18:48

水力学の問題です。
鉛直の平面壁に密着しながら、液体の薄い膜が重力の作用によって定常的に自然流下している。このとき、流下している液体の流量Qが次式で与えられることを示せ。Q=ρgbδ^3(3μ)ここに、Q =断面

(面積bδ)を通過する液体の流量、δ=薄膜の厚さ、b =膜の横幅、ρ=液体の密度、g=重力加速度、μ=液体の粘性係数

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ベストアンサーに選ばれた回答

css********さん

2018/5/2714:44:37

本問を解くためには以下の近似が必要です。

①液膜中の流れは層流

②液膜は重力と液体の粘性による摩擦力のつり合いが破られることで流れるが、このとき慣性力は無視する

③液体の物性値は一定

以上、3条件が前提となります。


以下、解答です

鉛直下向きにx軸を、壁面から膜厚方向にy軸をとる。

位置(x,y)に膜幅bの微小流体要素(dx×dy×b)を考える。

この要素にはたらく重力は

ρgbdxdy

です。

要素の位置yでの剪断力τ(y)は、

τ(y) = μ(∂u/∂y)

位置(y+dy)での剪断力τ(y+dy)は、

τ(y+dy) = τ(y)+(∂τ/∂y)dy = μ(∂u/∂y)+μ(∂^2u/∂y^2)dy

これらの剪断力が要素の両面に各々反対向きに働きます。

また、剪断力の合力が重力と釣り合うものなら、

ρgbdxdy = (τ(y)-τ(y+dy))×dx = -μ(∂^2u/∂y^2)dxdy

ここで、液膜内の流れは層流と近似したから、流速uはyだけの関数になります。

つまり、(∂^2u/∂y^2) = (d^2u/dy^2)

よって上式は、

ρgbdxdy = -μ(d^2u/dy^2)dxdy

∴ρgb = -μ(d^2u/dy^2)

これは積分できますから、積分してuについて整理すると、

u = -ρgby^2/(2μ)+Ay+B

ここでA、Bは積分定数。

滑りなしの条件から、y = 0 のときu = 0

液膜表面で剪断力ゼロだから、y = δ で du/dy = 0

以上より積分定数は定まるので、流速uは、

u = -ρgb(y^2/2-yδ)/μ

よって流量Qは

Q = ∫[0→δ]udy = ∫[0→δ](-ρgb(y^2/2-yδ)/μ)dy

∴Q = ρgbδ^3/(3μ)

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質問した人からのコメント

2018/5/28 13:24:32

回答ありがとうございます!
わかりやすい解説をして頂き助かりました。

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