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物理の力学の空気抵抗ありの放物運動についての質問です。 空気抵抗がF=-kmv(k...

ken********さん

2018/6/1802:52:38

物理の力学の空気抵抗ありの放物運動についての質問です。

空気抵抗がF=-kmv(kは正の定数で単位質量あたりの比例定数、mは物体の質量)で与えられるとき、初速Vo、水平線となす角度θで投げ出

された放物体が同じ水平面に達するまでの時間t2とその水平到達距離を求める問題で画像の答えのt2のところの近似がよくわかりません。

よろしくお願いします!

v0sin,放物運動,水平面,空気抵抗,時間t2,2 v0 sin,放物体

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yok********さん

2018/6/1810:01:00

指数関数を対数関数に変えても計算可能ですが、指数関数の展開
e^x = 1 + x + x^2/2 + …
を使ってみましょう。

指数 -kt2 の絶対値は小さいと考えて
gt2 = (v0sinθ+g/k){1 - e^(-kt2)}
≒(v0sinθ+g/k)(kt2 - k^2t2^2/2)

t2について解けば、
t2 = 2v0sinθ/g・1/{1+kv0sinθ/g}

kv0sinθ<<g でしょうから、
t2 = 2v0sinθ/g・(1 - kv0sinθ/g)

を得ます。

質問した人からのコメント

2018/6/18 14:10:50

分かりやすかったです。
ありがとうございます!!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2018/6/1809:34:04

指数関数の2次までの展開式

e^x = 1 + x + x^2/2

を使って

1 - e^(-kt) = kt - k^2 t^2 /2

だから

A = v0 sin(s) + g/k

と置いて

gt = A (kt - k^2 t^2 /2)
g = A (k - k^2 t /2)
Ak^2 t /2 = Ak - g
t = 2(Ak - g)/Ak^2 = 2[(Ak - g)/k]/Ak

Ak = k v0 sin(s) + g = g [1 + (k/g) v0 sin(s)]
(Ak - g)/k = v0 sin(s)

を代入して

t = 2 v0 sin(s) / g [1 + (k/g) v0 sin(s)]

その画像の範囲では正当性が分かりませんが、
1 >> (k/g) v0 sin(s)が成り立っていれば

[1 + (k/g) v0 sin(s)]^(-1) = 1 - (k/g) v0 sin(s)

だから

t = (2 v0 sin(s) / g) [1 - (k/g) v0 sin(s)]

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