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Help!I need somebody! 大学数学

sok********さん

2018/7/802:53:56

Help!I need somebody!
大学数学

I need somebody,x-nsin,b&gt,a&gt,大学数学,ゼータ関数,Riemann

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bib********さん

2018/7/1123:48:55

(1)
f[n](x)=n^{p}x-n^{p+1}sin(x/n)
ここで、
t=x/nと置くと、n→∞のとき、t→+0
したがって、
f[n](x)=n^{p}x-n^{p+1}sin(x/n)
=x^{p+1}・t^{-p-1}・(t-sint)
となる。
sint=t-(t^{3}/3!)+(t^{5}/5!)+O(t^{5})
なので、
f[n](x)=x^{p+1}・t^{2-p}・((1/3!)-(t^{2}/5!)+O(t^{2}))
となる。
lim_{n→∞}f[n](x)
=lim_{t→+0}x^{p+1}・t^{2-p}・((1/3!)-(t^{2}/5!)+O(t^{2}))
2-p>0のとき、
lim_{n→∞}f[n](x)=0
となる。

(2)

任意の実数y>=0に対して、
y-(y^{3}/3!)<=siny<=y
なので、この不等式を利用すると、
任意のb>a>=0を固定して、任意のx∈[a, b]に対して、
(x/n)-(1/3!)(x/n)^{3}<=sin(x/n)<=x/n
が成り立つ。
したがって、
0<=f[n](x)<=(1/3!)(x^{3}/n^{2-p})
となる。
したがって、
任意のb>a>=0を固定して、任意のx∈[a, b]に対して、
|f[n](x)|<=(1/3!)(|x|^{3}/n^{2-p})<=(b^{3}/6n^{2-p})
(ただし、ζ(2-p)はRiemannのゼータ関数)
となり、2-p>1のとき、つまり、p<1のとき、
Σ_{n=1}^{∞}b^{3}/(6n^{2-p})=(b^{3}/6)ζ(2-p)<∞
(ただし、ζ(2-p)はRiemannのゼータ関数)
となる。したがってWeierstrassのM判定法から、
Σ_{n=1}^{∞}f[n](x)は、任意のb>a>=0を固定して、任意のx∈[a, b]に対して、
一様収束する。
x<0の時は、-x>0として、f[n](-x)=-f[n](x)なので、
同様の議論をすればよい。

(3)
(1)より、
lim_{n→∞}f[n](x)=0
なので、
f[n](x)が0に一様収束するかどうかを調べる。
sup_{x∈R}|f[n](x)-0|を求める。
sup_{x∈R}|f[n](x)-0|=sup_{x∈R}|f[n](x)|
=sup_{x∈R}|n^{p}(x-nsin(x/n))|
=n^{p}sup_{x∈R}|x-nsin(x/n)|
ここで、
sup_{x∈R}|x-nsin(x/n)|=∞
なので、
f[n](x)が0に一様収束しない。

質問した人からのコメント

2018/7/13 20:58:03

ありがとうございます

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