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P1=3、Pn+1=1/3Pn+1の一般項を求める問題です。 Pn=3/2×(1/3)^n−1+3/2 =1/[2×...

eed********さん

2018/7/1513:00:45

P1=3、Pn+1=1/3Pn+1の一般項を求める問題です。
Pn=3/2×(1/3)^n−1+3/2
=1/[2×3^n−1]+3/2
となるんですが、その変形の仕方を詳しく教えてください!!

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ベストアンサーに選ばれた回答

kur********さん

2018/7/1513:13:42

P[n+1]=(1/3)P[n]+1でしょうか?

まず、P[n+1]=P[n]=xとして特性方程式をとくと
x=(1/3)x+1
(2/3)x=1
x=3/2
よって、
P[n+1]=(1/3)P[n]+1は
P[n+1]-(3/2)=(1/3){P[n]-(3/2)}と変形できる。
ここで、数列{P[n]-(3/2)}は
初項P[1]-(3/2)=3-(3/2)=3/2、公比1/3の等比数列なので
P[n]-(3/2)=(3/2)・(1/3)ⁿ⁻¹
P[n]=(3/2)+(3/2)・(1/3)ⁿ⁻¹
=(3/2)+(1/2)・3・(1/3)ⁿ⁻¹
=(3/2)+(1/2)・(1/3)⁻¹・(1/3)ⁿ⁻¹
=(3/2)+(1/2)・(1/3)ⁿ⁻²
={1/(2・3ⁿ⁻²)}+(3/2)

質問した人からのコメント

2018/7/15 15:59:26

分かりやすかったです。
ありがとうございました!!

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