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大学数学についてです ロジスティック方程式 ′ = (1 − )について以下の問に答え...

pri********さん

2018/7/2623:00:03

大学数学についてです

ロジスティック方程式 ′ = (1 − )について以下の問に答えよ.

(a) この微分方程式に対する初期値問題をオイラー法で解く漸化式を書きなさい.ただし独立変数の刻み幅はh > 0とする.
(b) (a)の漸化式に対して初項 0 = 1⁄2,h = 3⁄2として 2を計算せよ.
(c) (b)で求めた 2は,精度以前の問題として,ロジスティック方程式の解
としては相応しくない振る舞いをしている.それは何か指摘せよ.

全部じゃなくても良いので教えてもらえないでしょうか?

補足ロジスティック方程式 x'=x(1-x)
(b)初項 x0=1/2,h=3/2としてx2を計算せよ
(c)(b)で求めたx2は、
これが問題です。すみません。お願いします。

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rot********さん

2018/7/2712:06:56

(a) 微分の定義は、
x' = lim[h→0] {x(t+h)-x(t)}/h
だったわけですが、h の極限をとらずに正の値のままにしたのが、オイラー差分です。(オイラー差分によって微分方程式を差分化する方法がオイラー法。)
つまり、hをある値にして、ロジスティック方程式を
{x(t+h)-x(t)}/h = x(t)(1-x(t))
と表すということです。
時刻 t の値 x(t) から x(t+h) を求める形にすると、
x(t+h) = x(t) + h x(t) (1-x(t))
となります。
x(0) = x0, x(h) = x1,..., x(nh) = xn,...
と表すと、
x(n+1) = xn + h xn (1-xn)
というのが求める漸化式です。

(b) x0 = 1/2 より、x1 を求めると、
x1 = x0 + h x0 (1-x0) ※(a)の漸化式でn=0の場合
= 1/2 + 3/2・1/2 (1-1/2) ※x0=1/2, h=3/2 を代入
= 7/8.
次に、 x2 を求めると、
x2 = x1 + h x1 (1-x1)
= 7/8 + 3/2・7/8 (1-7/8)
= 133/128.

(c) ロジスティック方程式では、初期値 x(0) を 0<x(0)<1 の範囲にとると、x(t) は単調に増加して 1 に収束します。
つまり、x(t) が 1 を超えることはありません。
ところが、(b) では、初期値が x0 = 1/2 < 1 であるにもかかわらず、x2 が 1より大きくなってしまいます。
これは、ロジスティック方程式の解として不適切なふるまいです。

※ 刻み幅 h が小さくないと、微分 x' とオイラー差分のずれが大きくなってしまいます。
h = 3/2 という値は、刻み幅のとり方として適切でない(hをもっと小さくしなければならない)ということを意味します。

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