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xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円CとC上の点A(0、1)円C上の動点P,Qは線...

ino********さん

2018/8/409:54:11

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円CとC上の点A(0、1)円C上の動点P,Qは線分PQが円Cの一つの直径であるように動くものとする。

このとき線分APを1:2に内分する点をR、線分AQを2:1に内分する点をSとする。ただしP=AのときR=AとしQ=AのときS=Aとする。

(1)P(1,0)のときR,Sの座標をそれぞれ求めよ。

(2)点R,Sの軌跡の方程式をそれぞれ求めよ。

(3)直線RSはつねに定点を通ることを示せ。

(4)点Pが円Cのx>=0の部分を動くとき線分RSが通過する領域の面積を求めよ。
x>=0はxは0以上です

誰か教えてください!
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sta********さん

2018/8/411:12:11

1)省略

2)

A(0, 1)

P(cosθ, sinθ)とすると

Q(cos(θ+π), sin(θ+π))=(−cosθ, −sinθ)


線分APを1:2に内分する点をR:
((1・cosθ+2・0)/3, (1・sinθ+2・1)/3)=(cosθ/3, (sinθ+2)/3)…①

線分AQを2:1に内分する点をQ:
((2・−cosθ+1・0)/3, (2・−sinθ+1・1)/3)=(−2cosθ/3, (−2sinθ+1)/3)…②

θ=0とすれば1)の答になる

◆Rの奇跡

①より

x=cosθ/3 ⇄ cosθ=3x
y=(sinθ+2)/3 ⇄sinθ=3y−2

cosθ^2+sinθ^2=1より

(3x)^2+(3y–2)^2=1

x^2+(y–2/3)^2=(1/3)^2…③

◆Qの奇跡

②より

x=–2cosθ/3 ⇄ cosθ=–3x/2
y=(–2sinθ+1)/3 ⇄sinθ=–(3y−1)/2

cosθ^2+sinθ^2=1より

(3x/2)^2+((3y–1)/2)^2=1

x^2+(y–1/3)^2=(2/3)^2…④


3)

R(cosθ/3, (sinθ+2)/3)
Q(−2cosθ/3, (−2sinθ+1)/3)

直線RQの式

(x, y)=(cosθ/3, (sinθ+2)/3)+tQR↑
=(cosθ/3, (sinθ+2)/3)+t(cosθ, sinθ+(1/3))
=(t+(1/3))(cosθ, sinθ)+(0, (2+t)/3)

t=–1/3 のとき、θに関係なく

(x, y)=(0, 5/9)

を通る


4)

2)よりR、Qは③、④を動くから、線分RQの端点の奇跡はこの曲線上の連続した部分である


点Pが円Cのx≧0の部分を動く

–π/2≦θ≦π/2

だから

R:
x=cosθ/3
y=(sinθ+2)/3

Q:
x=–2cosθ/3
y=(–2sinθ+1)/3


Rは軌跡のy軸とそれよりも右の領域
Qは軌跡のy軸とそれよりも左の領域

を動く。(図参照)

3)よりRQは定点(0, 5/9)を必ず通るので、そのように直線を引くと、図のような緑色の領域となる

それぞれ半径1/3、2/3の半円を足した領域だから

面積=(1/2)π{(1/3)^2+(2/3)^2}=5π/18

m(._.)m

1)省略

2)

A(0, 1)

P(cosθ, sinθ)とすると

Q(cos(θ+π),...

  • sta********さん

    2018/8/412:36:36

    Macの漢字変換の「きせき」の第一候補が「軌跡」ではなく「奇跡」のため、所々そうなっております。

    漢字変換ミス、ごめんなさい。

    m(._.)m

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質問した人からのコメント

2018/8/7 09:49:28

図まで書いていただきありがとうございました
助かりました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bud********さん

2018/8/410:46:48

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円Cと
円C上の点A(0、1)
円C上の動点P,Q
は線分PQが円Cの一つの直径であるように動くものとする。
このとき
線分APを1:2に内分する点をR、
線分AQを2:1に内分する点をSとする。
ただしP=AのときR=AとしQ=AのときS=Aとする。
P(cos(t),sin(t)),Q(-cos(t),-sin(t))
R(cos(t)/3,(2+sin(t))/3)
S(-2cos(t)/3,(1-2sin(t))/3)
(1)P(1,0)のときR,Sの座標をそれぞれ求めよ。
t=0:R(1/3,2/3),S(-2/3,1/3)
(2)点R,Sの軌跡の方程式をそれぞれ求めよ。
(3x)^2+(3y-2)^2=1
3x^2+3y^2-4y+1=0 半径1/3

(3/2x)^2+((3y-1)/2)^2-1=0
3x^2+3y^2-2y-1=0 半径2/3
(3)直線RSはつねに定点を通ることを示せ。
(OS+2OR)/3 =(0,5/9)
定点(0,5/9)を通る
(4)点Pが円Cのx>=0の部分を動くとき
-π/2≦t≦π/2
線分RSが通過する領域の面積を求めよ。
半径1/3,2/3の2つの円の半分の和だから
π/2(1/9+4/9)=5π/18

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