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3以上9999以下の奇数aで、a2-aが10000で割り切れるものをすべて求める時、1番早...

aiz********さん

2008/9/2522:03:48

3以上9999以下の奇数aで、a2-aが10000で割り切れるものをすべて求める時、1番早く解けるやり方を教えて下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kei********さん

編集あり2008/9/2603:19:47

いつぞやの東大の入試問題ですね。
10000=2^4・5^4
a^2-a=a(a-1)
a,a-1は互いに素だから、a^2-aが10000の倍数になるためには、奇数aが5^4=625の倍数になり、かつ偶数a-1が2^4=16の倍数になればよい。

a=625m (m:正の奇数)とすると、
a=624m+m
a-1=16・36m+m-1
つまり、m-1が16の倍数となるから、
m-1=16n とし、
m=16n+1

a=625(16n+1)=10000n+625
3≦a≦9999より、n=0が適し、a=625

質問した人からのコメント

2008/9/26 03:39:48

感謝 おお~、素晴らしい。

東大の2006年度の入試問題をいくつかやったのですが…、発狂しそうになりましたよ。

大変助かりました。

ありがとうございます!!

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