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8 ÷ (-11) は 商と余りはいくつになりますか?

chi********さん

2018/10/1500:11:10

8 ÷ (-11) は 商と余りはいくつになりますか?

整数論の話で
整数 a÷ 正の数 b 商をq 余りをrとおいたとき

a = bq + r (0≦r<b)
と習いました。

割る数が正の場合は分かりますが
もし負の場合はどうなるのでしょうか。

僕は8 ÷ (-11) = -1 余り -3だと思いました。
か、 商がプラスになることは
正 ÷ 負 =負になると思うので
ありえないとは思うんですが
それだと余りがマイナス、、、

8 ÷ (-11) = 1 余り 19
これだと 割る数と余りの大小関係がおかしくなりなります。

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ベストアンサーに選ばれた回答

清貧一郎さん

2018/10/1508:03:45

8になる定義と―3になる定義両方あるようです

以下はhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95 からの引用です

m = qn + r
を満たすような q, r をそれぞれ商と剰余として与える。このような方程式を満たす整数 q, r は複数存在するが(たとえばある q, r に対して q − 1 と n + r の組は同様に上記の方程式を満たす)、剰余 r の取り得る値に制限を与えることで一意に商 q と剰余 r の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余 r を除数 n より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。
m = qn + r かつ 0 ≤ r < |n|
これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「m の n を法とする剰余」「m の法 n に関する剰余 (英: residue modulo "n") 」などと言い表される。 剰余 r が 0 でないことはしばしば「m は n で割り切れない」と表現され、記号的に n ł m と表される。 ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, −4, 被除数を 22, −22 としている。
0 ≤ r < |n|
22 = 5 × 4 + 2:商 5, 剰余 222 = (−5) × (−4) + 2:商 −5, 剰余 2−22 = (−6) × 4 + 2:商 −6, 剰余 2−22 = 6 × (−4) + 2:商 6, 剰余 2
「割り切れない」という用語はしばしば「小数点以下が無限に続く」の意で用いられることがあるが、これは誤用である。

絶対的最小剰余[編集]

他の剰余に対する制限の方法として、剰余の絶対値が最小となるように商を定める方法がある。この方法では、

|n|

2
< r ≤
|n|

2

あるいは

|n|

2
≤ r <
|n|

2

の範囲に剰余 r が含まれる。この場合、ユークリッド除法と異なり r は負の値を取り得る。このようにして定められる剰余を絶対的最小剰余 (least absolute remainder, absolutely least residue, minimal residue) と呼ぶ。 絶対的最小剰余を用いる場合の計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, −4, 被除数を 22, −22 としている。

|n|

2
< r ≤
|n|

2

22 = 5 × 4 + 2:商 5, 剰余 222 = (−5) × (−4) + 2:商 −5, 剰余 2−22 = (−6) × 4 + 2:商 −6, 剰余 2−22 = 6 × (−4) + 2:商 6, 剰余 2−
|n|

2
≤ r <
|n|

2

22 = 6 × 4 − 2:商 6, 剰余 −222 = (−6) × (−4) − 2:商 −6, 剰余 −2−22 = (−5) × 4 − 2:商 −5, 剰余 −2−22 = 5 × (−4) − 2:商 5, 剰余 −2
いずれの方法であっても、除数 n が 0 の場合、剰余 r は 0 でなければならず、被除数 m がどのような数であっても商 q を一意に定めることはできない。 絶対的最小剰余とユークリッド除法によって定められる最小非負剰余、あるいは別の方法のいずれを用いるかは自由であり、与えられる剰余がそのいずれかであるかは予め決められた規約に従う。この規約は、計算する対象や計算機の機種、あるいはプログラミング言語により、まちまちである。簡単な分析とサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献にまとめられている[1]。

質問した人からのコメント

2018/10/21 17:36:51

とても納得のいく解答だったので
ベストアンサーにさせていただきます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

jmt********さん

2018/10/1500:19:32

8=(-11)×0+8

だから、商は0、余りは8

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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