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aは正の数とする。曲線x=a(θ-sinθ)、y=a(1-cosθ)(0<θ<2π)上の点Pにおける法線が...

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ID非公開さん

2018/10/1519:43:54

aは正の数とする。曲線x=a(θ-sinθ)、y=a(1-cosθ)(0<θ<2π)上の点Pにおける法線が直線x=πaと交わる点をQとする。ただしPは点(πa,2a)とは異なる点である。
(1)Qのy座標をθで表せ。
(2)θをπに近

づけるときQはどのような点に近づくか。

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bgm********さん

2018/10/1521:01:44

題意を満たす曲線をCとする。
dx/dθ=a(1-cosθ),dy/dθ=asinθであり、
dy/dx=dy/dθ·dθ/dx
dy/dx=sinθ/(1-cosθ)

(以下設問の曖昧さを感んじますが)
(1)C上の任意の点Pを得るθを用いて、θ=/π
点PのおけるCの放線の方程式は
y=-dx/dy{x-a(θ-sinθ)}+a(1-cosθ)
y=(1-cosθ)/sinθ ·(aθ-x)
x=πaのとき
y=a(1-cosθ)/sinθ ·(θ-π)···解答

(2)lim(θ→π) a(1-cosθ)/sinθ ·(θ-π)
においてθ-π=tとおく(この発想は馴れましょう。)
このときθ→πからt→0としてよい。

lim(t→0) a(1+cost)/(-sint) ·t
ここでlim(t→0) t/sint =1から
極限値-2aをえる。

以上より点Qは(πa,-2a)に近づく。

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質問した人からのコメント

2018/10/19 11:01:44

ありがとうございます!

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